Математический анализ I. Фомин В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.1. Существует единственное вещественное число
γ
, удовлетворяющее условию (4.4).
В силу (4.3) и теоремы 3.4 множество
1
Ω
ограничено сверху, множество
2
Ω
ограничено снизу и
1 2
sup inf
Ω ≤ Ω
. (4.5)
В силу характеристического свойства 3.1) точной верхней грани множества
sup ,a b a b
+ ≤ Ω ∀ + ∈Ω
. (4.6)
В силу характеристического свойства 3.а) точной нижней грани множества
2 2
inf ,a b a b
′ ′ ′ ′
Ω ≤ + ∀ + ∈Ω
. (4.7)
В силу (4.5) – (4.7)
1 2 1 2
sup inf , ,
a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ Ω ≤ Ω ≤ + ∀ + ∈Ω ∀ + ∈Ω
1 2 1 2
sup inf , ,a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ Ω ≤ Ω ≤ + ∀ + ∈ Ω ∀ + ∈ Ω
1 2 1 2
sup inf , ,
a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ Ω ≤ Ω ≤ + ∀ + ∈Ω ∀ + ∈Ω
. (4.8)
Из (4.8) видно, что в качестве вещественного числа
γ
, удовлетворяющего условию (4.4), можно взять любое из чисел
1
sup
Ω
или
2
inf
Ω
, т.е. множество
Г
{ |
= γ ∈
R
выполняется (4.4)
}
непусто.
Пусть
γ ∈
Г
,
γ
фиксировано. Тогда из левого неравенства в (4.4) видно, что
γ
– верхняя граница множества
1
Ω
⇒
1
sup
Ω ≤ γ
, ибо
1
sup
Ω
– наименьшая из всех верхних границ множества
1
Ω
; из правого неравенства в (4.4) видно, что
γ
–
нижняя граница множества
2
Ω
⇒
2
inf
γ ≤ Ω
, ибо
2
inf
Ω
– наибольшая из всех нижних границ множества
2
Ω
. Получили:
1 2
sup inf
Ω ≤ γ ≤ Ω
. (4.9)
В силу (4.8), (4.9) для
∀γ ∈
Г
1 2 1 2
sup inf , ,a b a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ Ω ≤ γ ≤ Ω ≤ + ∀ + ∈Ω ∀ + ∈ Ω
. (4.10)
Из (4.10) видно, что для доказательства теоремы осталось показать, что
1 2
sup inf
Ω = Ω
, (4.11)
ибо при наличии равенства (4.11) вещественное число
γ
, удовлетворяющее условию (4.4), определяется единственным об-
разом и можно положить
1
sup
γ = Ω
(4.12)
или
2
inf
γ = Ω
. (4.13)
:
1 2
sup inf
Ω ≠ Ω
, т.е. в силу (4.5)
1 2
sup inf
Ω < Ω
. Тогда в силу теоремы 2.1
1 2 1 1 2 2
, | sup inf
r r r r
∃ ∈ Ω < < < Ω
Q
. Следова-
тельно, в силу (4.8)
1 1 2 2 1 2
sup inf , ,a b r r a b a b a b
′ ′ ′ ′
+ ≤ Ω < < < Ω ≤ + ∀ + ∈ Ω ∀ + ∈ Ω
. (4.14)
На числовой оси рис. 4.1
Рис. 4.1
Положим
2 1
r r r
= −
. Тогда из (4.14) получаем:
(
)
(
)
a b a b r
′ ′
+ − + >
,
1 2
,a b a b
′ ′
∀ + ∈Ω ∀ + ∈Ω
,
что противоречит утверждению из замечания 4.1. .
Определение 4.1.
Суммой вещественных чисел
α
и
β
называется вещественное число
γ
, удовлетворяющее условию
(4.4).
Обозначение:
α + β = γ
.
Определение 4.1 корректно в силу теоремы 4.1.
Из школьного курса математики известно, что для
r
∀ ∈
Q
| ( ) 0
r r r
∃− ∈ + − =
Q
, при этом число
r
−
называется проти-
воположным числом по отношению к числу
r
.
Введём аналогичное понятие для иррационального числа
α
. Пусть
AA
′
|
– сечение в области рациональных чисел, оп-
ределяющее число
α
. Положим
{
}
|
B a a A
′ ′ ′
= − ∈
; (4.15)
0
1

Страницы