Математический анализ I. Фомин В.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу свойства 2
○
допустима запись
α + β + γ
.
Вычитание вещественных чисел определяется как операция, обратная сложению.
Определение 4.3.
Разностью
α −β
вещественных чисел
α
и
β
называется такое вещественное число
γ
, что
γ + β = α
.
Покажем, что определение 4.3 корректно, т.е. что такое
γ
существует и определяется единственным образом:
( )
γ = α + −β
.
Действительно, положим
( )
γ = α + −β
. Тогда, используя свойства 1
○
– 4
○
, получаем:
]
]
]
( ) ( ) ( ) 0
γ + β = α + −β + β = α + −β + β = α + β + −β = α + = α
.
Покажем, что разность вещественных чисел определяется однозначно. Пусть
1
γ
– любое другое вещественное число, удов-
летворяющее условию
1
γ + β = α
. Тогда
)
)
)
( ) ( ) ( )
1
1
1 1 1 1
0
γ + β + −β = α + −β = γ
⇒ γ = γ
γ +β + −β = γ + β+ −β = γ + = γ
в силу единственности суммы.
Справедливо следующее свойство, связывающее знак > со знаком суммы [7, с. 54]:
5
○
. Если
,
α β∈
R
и
α > β
,
то
α + γ > β + γ
для
∀γ ∈
R
.
Из
свойства
5
○
вытекает
следующее
свойство
,
позволяющее
почленно
складывать
неравенства
одного
знака
:
6
○
.
Если
, , ,
α β µ ν ∈
R
и
α > β
,
µ > ν
,
то
α + µ > β + ν
.
Действительно
,
используя
свойства
1
○
, 5
○
,
получаем
:
α + µ > β + µ
⇒ α + µ > β + ν
β + µ = µ +β > ν + β = β + ν
в
силу
свойства
транзитивности
знака
> (
см
.
лекцию
1).
Введём
понятие
модуля
вещественного
числа
.
Определение 4.4.
Модулем
(
абсолютной величиной
)
вещественного числа
α
называется
вещественное
число
α
,
оп
-
ределяемое
следующим
образом
:
=α
<αα−
>αα
=α
0.если0,
;0если,
;0если,
(4.22)
Из
(4.22)
виден
геометрический
смысл
модуля
вещественного
числа
:
модуль
вещественного
числа
α
равен
расстоянию
от
точки
M
α
,
изображающей
число
α
на
числовой
оси
,
до
точки
0 (
до
начала
координат
):
Рис. 4.3
Следовательно
,
0
α ≥
,
∀α ∈
R
; (4.23)
−α = α
,
∀α ∈
R
; (4.24)
α ≤ α
,
∀α ∈
R
. (4.25)
Далее
,
если
c
∈
R
,
0
c
>
,
то
x c
x c
x c
= −
= ⇔
=
(4.26)
x c c x c
< ⇔ − < <
; (4.27)
x c c x c
≤ ⇔ − ≤ ≤
; (4.28)
x c
x c
x c
< −
> ⇔
>
(4.29)
x c
x c
x c
≤ −
≥ ⇔
≥
(4.30)
Следовательно
,
;
;
;
;
;
.

Страницы