Математический анализ I. Фомин В.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ac a c
′ ′
≤ µ ≤
,
, , ,
a A c C a A c C
′ ′ ′ ′
∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ,
, , , 0
a c a c
′ ′
>
,
или
в
силу
(4.33), (4.34)
a a
′
≤ µ ≤
′
, ,
a A a A
′ ′
∀ ∈ ∈
,
0, 0
a a
′
> >
. (4.36)
По
условию
2)
из
определения
1.1
a a
′
<
для
,
a A a A
′ ′
∀ ∈ ∀ ∈
⇒
⇒
1
a
a
<
′
,
1
a
a
′
>
для
a A
∀ ∈
,
0
a
>
,
a A
′ ′
∀ ∈
,
0
a
′
>
.
В
силу
этого
число
1
тоже
удовлетворяет
условию
(4.36):
1
a a
a a
′
≤ ≤
′
, ,
a A a A
′ ′
∀ ∈ ∈
,
0, 0
a a
′
> >
.
В
силу
единственности
произведения
1
µ =
,
т
.
е
.
1
1
α⋅ =
α
.
Если
0
α <
,
то
обратное
ему
число
определяется
по
формуле
1 1
= −
α α
.
Тогда
числа
α
и
1
α
имеют
одинаковые
знаки
,
следовательно
,
в
силу
(4.32)
1 1
1
α⋅ = α ⋅ =
α α
.
Операция
умножения
обладает
следующими
свойствами
([11,
с
. 32]):
7
○
.
αβ = βα
,
,
∀α β∈
R
(
коммутативность
или
переместительное
свойство
умножения
);
8
○
.
(
)
(
)
αβ γ = α βγ
, ,
∀α β γ ∈
R
(
ассоциативность
или
сочетательное
свойство
умножения
);
9
○
.
1
α⋅ = α
∀α∈
R
(
особая
роль
единицы
);
10
○
.
1
1
α⋅ =
α
∀α∈
R
,
0
α ≠
.
Деление
вещественных
чисел
определяется
как
операция
,
обратная
умножению
.
Определение 4.7.
Частным
α
β
вещественных чисел
α
и
β
(
0
β ≠
)
называется
такое
вещественное
число
γ
,
что
γβ = α
.
Определение
4.7
корректно
,
т
.
е
.
такое
число
γ
определяется
единственным
образом
([11, c. 34]).
Справедливы
следующие
свойства
([11,
с
. 34]):
11
○
.
Если
, ,
α β γ ∈
R
и
α > β
,
0
γ >
,
то
αγ > βγ
;
12
○
.
(
)
α + β γ = αγ +βγ
,
, ,
∀α β γ ∈
R
(
дистрибутивность
или
распределительное
свойство
умножения
относительно
суммы
).
В
дальнейшем
будут
полезны
следующие
свойства
модулей
[11,
с
. 35]:
,
∀α β∈
R
α + β ≤ α + β
; (4.37)
α − β ≤ α + β
; (4.38)
α − β ≥ α − β
; (4.39)
α − β ≥ α − β
; (4.40)
αβ = α ⋅ β
; (4.41)
α
α
=
β β
,
0
β ≠
; (4.42)
n
n
α = α
,
n
∈
N
; (4.43)
α − β = β − α
. (4.44)
В
последующих
лекциях
мы
будем
рассматривать
только
вещественные
числа
и
в
целях
краткости
называть
их
числа
-
ми
.

Страницы