Математический анализ I. Фомин В.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

, |
n
m M m x M
∃ ∈ ≤ ≤R
, для
n
∀ ∈
N
. (5.6)
Замечание 5.1.
В силу замечания 3.5 условие ограниченности последовательности
{
}
n
x
можно записать в виде:
, 0 |
n
C C x C
R
,
n
∀ ∈
N
. (5.7)
Исходя из замечания 5.1, приходим к понятию неограниченной последовательности.
Определение 5.5. Последовательность
{
}
n
x
называется
неограниченной
, если
для
, 0 ( ) |
n
C C n n C x C
∀ ∈ > ∃ = >
R
(5.8)
(запись
( )
n n C
=
означает, что в общем случае номер
n
определяется в зависимости от взятого числа
C
, т.е. для каждого
С
най-
дётся свой номер).
В примере 5.1 последовательность
{
}
n
x
ограничена (для неё в качестве верхней границы можно взять любое число
1
M
≥
, в качестве нижнее границы – любое число
0
m
≤
).
Последовательность из примера 5.2 при
1
3, 2
b q
= − =
:
1
3, 6, 12, ..., 3 2 , ...
n−
− − − − ⋅
является неограниченной (она ограничена сверху любым числом
3
M
≥ −
, но не ограничена снизу).
Последовательность из примера 5.2 при
1
3, 2
b q
= =
:
1
3, 6, 12, ..., 3 2 , ...
n−
⋅
является неограниченной (она ограничена снизу любым числом
3
m
≤
, но не ограничена сверху).
Последовательность из примера 5.2 при
1
3, 2
b q
= = −
:
1
3, 6, 12, 24, ..., 3 ( 2) , ...
n
−
− − ⋅ −
является неограниченной (она не ограничена сверху и не ограничена снизу).
При изучении последовательности важно знать, каково поведение её членов при неограниченном увеличении их номе-
ров. В связи с этим введём понятие предела последовательности.
Определение 5.6. Число
a
называется
пределом последовательности
{
}
n
x
, если для любого сколь угодно малого по-
ложительного числа
ε
найдётся номер
N
, определяемый в зависимости от взятого числа
ε
, такой, что для любого номера
n N
>
соответствующий член последовательности
n
x
отличается от числа
a
по модулю на величину, меньшую взятого
числа
ε
.
Обозначение:
lim
n
n
x a
→∞
=
, (5.9)
или
n
n
x a
→∞
→
, или
n
x a
→
при
n
→ ∞
(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего "предел").
Итак, запись (5.9) означает, по определению, следующее:
0 ( ) |
n
N N n N x a
∀ε > ∃ = ε ∀ >
⇒
− < ε
. (5.10)
Сформулируем определение предела последовательности на геометрическом языке. В силу (4.27)
n n
x a x a
− < ε ⇔ − ε < − < ε
. (5.11)
В силу свойства 5
○
из лекции 4
n n
x a a x a
−ε < − < ε ⇔ − ε < < + ε
. (5.12)
В силу (5.11), (5.12)
n
x a
− < ε ⇔
(
)
,
n
x a a
∈ − ε + ε
. (5.13)
Определение 5.7. ε-
окрестностью точки
a
называется интервал с центром в точке
a
радиуса
ε
.
Обозначение:
( )
O a
ε
. По определению
(
)
( ) , O a a a
ε
= − ε + ε
. (5.14)
В силу (5.13), (5.14)
( )
n n
x a x O a
ε
− < ε ⇔ ∈
.

Страницы