Математический анализ I. Фомин В.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 5.8. Точка
a
называется
пределом последовательности точек
{
}
n
x
, если для любой сколь угодно малой
ε-окрестности точки
a
найдётся номер
N
, определяемый в зависимости от
ε
, такой, что для любого номера
n N
>
соответ-
ствующая точка
x
попадает во взятую ε-окрестность точки
a
.
Итак, запись (5.9) означает по определению следующее:
( ) ( ) | ( )
n
O a N N n N x O a
ε ε
∀ ∃ = ε ∀ > ⇒ ∈
. (5.15)
Геометрическая иллюстрация показана на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Замечание 5.2.
Из определения 5.8 видно, что вне взятой ε-окрестности точки
a
может оказаться лишь конечное число
элементов последовательности (а именно, элементы
1 2
, , ... ,
N
x x x
).
Замечание 5.3.
Из замечания 5.2 видно, что если последовательность
{
}
n
x
имеет предел
a
и из неё удалить конечное
число членов или к ней добавить конечное число новых членов, то вновь полученная последовательность тоже сходится к
числу
a
.
Пример 5.3. Предел последовательности
1
n
n
x
n
+
=
,
n
∈
N
равен 1.
Действительно, зафиксируем произвольное сколь угодно малое положительное число
ε
. Чтобы показать, что
lim 1
n
n
x
→∞
=
, нам нужно в силу (5.10) подобрать номер
( ) | 1
n
N N n N x
= ε ∀ > ⇒ − < ε
. Имеем:
1 1
1 1
n
n
x
n n
+
− = − =
,
1 1
1
n
x
n n
− = =
и для выполнения неравенства
1
n
x
− < ε
,
n N
∀ >
, т.е. неравенства
1
n
< ε
или равносильного ему неравен-
ства
1
n
>
ε
достаточно взять в качестве
N
целую часть числа
1
ε
:
1
N
=
ε
.
Определение 5.9. Говорят, что последовательность
{
}
n
x
сходится к
+∞
(
имеет предел
+∞
), если для любого сколь
угодно большого положительного числа
E
найдётся номер
N
, определяемый в зависимости от взятого числа
E
, такой, что
для любого номера
n N
>
соответствующий член последовательности
x
больше взятого числа
E
.
Обозначение:
lim
n
n
x
→∞
= +∞
. (5.16)
Запись (5.16) означает, по определению, следующее:
0 ( ) |
n
E N N E n N x E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒ >
. (5.17)
Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 5.2.
Рис. 5.2
Пример 5.4.
Последовательность
2 1
n
x n
= +
,
n
∈
N
сходится к
+∞
.
Действительно, зафиксируем произвольное сколь угодно большое положительное число
E
. Чтобы показать, что
lim
n
n
x
→∞
= +∞
, нам нужно в силу (5.17) подобрать номер
( ) |
n
N N E n N x E
= ∀ > ⇒ >
, т.е.
2 1
n E
+ >
, а для этого достаточно
взять
1
2
E
n
−
>
, т.е. положить
1
2
E
N
−
=
.
Определение 5.10. Говорят, что последовательность
{
}
n
x
сходится к
−∞
(
имеет предел
−∞
), если для любого сколь
угодно большого по модулю отрицательного числа
E
найдётся номер
N
, определяемый в зависимости от взятого числа
E
,
такой, что для любого номера
n N
>
соответствующий член последовательности меньше взятого числа
E
.
Обозначение:
lim
n
n
x
→∞
= −∞
. (5.18)
Запись (5.18) означает, по определению, следующее:

Страницы