Математический анализ I. Фомин В.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0 ( ) |
n
E N N E n N x E
∀ < ∃ = ∀ > ⇒ <
. (5.19)
Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 5.3.
Рис. 5.3
Пример 5.5.
Последовательность
2
n
x n
= −
,
n
∈
N
сходится к
−∞
.
Действительно, для произвольно взятого
E
<
достаточно положить
2
E
N
=
. Тогда
n
n N x E
∀ > ⇒ <
, а это означа-
ет, по определению, что
lim
n
n
x
→∞
= −∞
.
Замечание 5.4.
Существуют последовательности, у которых нет ни конечного, ни бесконечного предела.
Пример 5.6. Ограниченная последовательность
( )
1
1
n
n
x
+
= −
,
n
∈
N
:
1
1, 1, 1, 1, ..., ( 1) , ...
n+
− − −
(5.20)
не имеет ни конечного, ни бесконечного предела, ибо для неё не выполняется ни одно из условий (5.10), (5.17), (5.19).
Пример 5.7. Неограниченная последовательность
( )
1
1
n
n
x n
+
= −
,
n
∈
N
не имеет ни конечного, ни бесконечного пре-
дела, ибо для неё не выполняется ни одно из условий (5.10), (5.17), (5.19).
Определение 5.11. Последовательность
{
}
n
x
называется
бесконечно большой
, если
lim
n
n
x
→∞
= +∞
, (5.21)
т.е. в силу (5.17), если выполняется
0 ( ) |
n
E N N E n N x E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒ >
. (5.22)
Замечание 5.5.
Если выполняется (5.21), то говорят, что последовательность
{
}
n
x
сходится к
∞
(или имеет предел
∞
).
Обозначение:
lim
n
n
x
→∞
= ∞
.
Любая последовательность
{
}
n
x
, для которой
lim
n
n
x
→∞
= +∞
, есть бесконечно большая последовательность (б.б.п.).
Действительно, для такой последовательности выполняется (5.17). Имеем:
n
x E
>
,
0
E
>
0
n
x
⇒ >
n n
x x
⇒ =
и (5.17)
принимает вид (5.22), а это означает, по определению, что
{
}
n
x
– б.б.п.
Например, последовательность
{
}
n
x
из примера 5.4 является б.б.п.
Аналогично, любая последовательность
{
}
n
x
, для которой
lim
n
n
x
→∞
= −∞
, есть б.б.п.
Действительно, для такой последовательности выполняется (5.19). Имеем:
, 0
n
x E E
< < ⇒
, 0
0
n
n
n n n
x E E
x E
x x x
− > − − >
⇒ > −
< ⇒ − =
,
т.е. выполняется (5.22), где в качестве
E
выступает
E
− >
, а это означает, по определению, что
{
}
n
x
– б.б.п.
Последовательность
n
x
из примера 5.7 является б.б.п, ибо
lim lim
n
n n
x n
→∞ →∞
= = +∞
.
Заметим, что всякая б.б.п. является неограниченной, что видно из (5.8), (5.21).
Однако, не всякая неограниченная последовательность является б.б.п. Например, неограниченная последовательность
1 1 1
1, , 3, , ..., 2 1, , ...
2 4 2
k
k
−
,
k
∈
N
,
не является б.б.п., ибо для членов последовательности с чётными номерами не выполняется (5.22).
Теорема 5.1. Если для последовательности
{
}
n
x
lim 0
n
n
x a
→∞
∃ = ≠
и
{
}
n
y
– б.б.п., то
{
}
n n
x y
– б.б.п.
Пусть, для определённости,
0
a
>
(случай
0
a
<
рассматривается аналогично). Выберем
0
ε >
таким образом, чтобы
(
)
( ) 0, O a
ε
⊂ + ∞
. Положим, например,
2
a
ε =
(рис. 5.4).

Страницы