Математический анализ I. Фомин В.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 5.4
Тогда в силу (5.15) для
( )
O a
ε
1 1 1
( ) | ( )
n
N N n N x O a
ε
∃ = ε ∀ > ⇒ ∈
, т.е.
0
2 2
n
a a
x a a
> − ε = − = >
. Возьмём
0
E
. По условию,
{
}
n
y
– б.б.п., следовательно, в силу (5.22) для числа
2
E
a
2 2 2
2E
N N N E
a
∃ = =
a
E
yNnEN
n
2
|||)(
22
>⇒>∀=
. Положим
N
{
}
1 2
max ,
N N
=
. Заметим, что
( )
N N E
=
, ибо
2 2
( )
N N E
=
. Тогда для
n N
∀ >
2
2
n n n n
a E
x y x y E
a
= ⋅ > ⋅ =
. Получили:
0 ( ) |
E N N E n N x y E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒
n n
E N N E n N x y E
⇒ >
, а это означает, по определению, что
{
}
n n
x y
– б.б.п.
Следствие 5.1.
Если
{
}
n
y
– б.б.п., то
, 0
c c
∀ ∈ ≠
R
{
}
{
}
n n
c y cy
⋅ =
– б.б.п.
Определение 5.12. Последовательность называется
сходящейся
, если она имеет конечный предел.
Последовательность из примера 5.3 является сходящейся.
Определение 5.13. Последовательность называется
расходящейся
, если она не имеет конечного предела.
Последовательности из примеров 5.4 – 5.7 являются расходящимися.
Теорема 5.2. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
:
∃
сходящаяся последовательность
{
}
|
n
x
lim
n
n
x a
→∞
=
; (5.23)
lim
n
n
x b
→∞
=
(5.24)
и
a b
≠
. Пусть, для определённости,
a b
<
0
b a
⇒
− >
. Выберем
0
ε >
таким образом, чтобы
( ) ( )O a O b
ε ε
∩ = ∅
. Положим,
например,
3
b a
−
ε =
(рис. (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Из (5.23) следует в силу (5.15): для взятой
( )
O a
ε
1 1
( ) |
N N
∃ = ε
1
( )
n
n N x O a
ε
∀ >
⇒
∈
. Аналогично, из (5.24) следует, что
для взятой
( )
O b
ε
2 2
( ) |
N N
∃ = ε
2
( )
n
n N x O b
ε
∀ >
⇒
∈
.
Положим
N
{
}
1 2
max ,
N N
=
. Тогда для
n N
∀ >
n
x O a
ε
∈
и
( )
n
x O b
ε
∈
⇒
( ) ( )
n
x O a O b
ε ε
⇒
∈ ∩ = ∅
. Противоречие. .
Пусть даны две последовательности
( )
n
x n
= ϕ
,
n
∈
N
,
( )
n
y n
= ψ
,
n
∈
N
;
lim ( )
n
n
→∞
∃ ψ
и выполняется условие
( ) ( )
n n
ϕ = ψ
,
n
∀ ∈
N
. (5.25)
Тогда
lim ( )
n
n
→∞
∃ ϕ
и
lim ( ) lim ( )
n n
n n
→∞ →∞
ϕ = ψ
. (5.26)
Действительно, в силу условия (5.25) речь идёт об одной последовательности
n n n
z x y
= =
,
n
∈
N
, а в силу теоремы 5.2
предел этой последовательности единственен.
Переход от (5.25) к (5.26) называется предельным переходом в равенстве.
Укажем
необходимый признак сходимости последовательности.
Теорема 5.3. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть
{
}
n
x
– сходящаяся последовательность, т.е.
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
. (5.27)
Покажем, что последовательность
{
}
n
x
ограничена, т.е. выполняется (5.7). Возьмём фиксированное
0
ε >
. Тогда из (5.27)
следует в силу (5.10), (5.12), что
( ) |
N N
∃ = ε
n
n N a x a
∀ >
⇒
− ε < < + ε
⇒
⇒
{ }
1
max ,
def
n
x a a C
≤ − ε + ε =
,
n
∀ ∈
N
. Поло-
жим
C
2
{
1 2
max , ,...,
x x x
=
}
1 2
max , ,...,
N
x x x
,
{
}
1 2
max ,
C C C
=
. Тогда
n
x C
≤
,
n
∀ ∈
N
.
Замечание 5.6.
Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся.
О
ε
(
а
)
О
ε
(
а
)
О
ε
(
b
)

Страницы