Математический анализ I. Фомин В.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
{
}
n
α
и
{
}
n
β
– бесконечно малые последовательности. Покажем, что их сумма
{
}
n n
α + β
тоже бесконечно
малая последовательность. Зафиксируем произвольное
ε >
. В силу (6.4) для числа
2
ε
1 1 1 1
( ) |
2 2
n
N N N n N
ε ε
∃ = = ε ∀ > ⇒ α <
. Аналогично, в силу того, что
lim 0
n
n→∞
β =
, для числа
2
ε
2 2 2
( ) |
2
N N N
ε
∃ = = ε
2
2
n
n N
ε
∀ >
⇒
β <
. Положим
{
}
1 2
max ,
N N N
=
. Заметим, что
( )
N N
= ε
, ибо
1 1
( )
N N
= ε
,
2 2
( )
N N
= ε
. Тогда для
n N
∀ >
2
n
ε
⇒
α <
и
2
n
ε
β <
, следовательно,
n N
∀ >
⇒
n n n n
α +β ≤ α + β
2 2
ε ε
< + = ε
. Итак, для
0 ( ) |
n n
N N n N
∀ε > ∃ = ε ∀ >
⇒
α +β < ε
,
а это означает, по определению, что
{
}
n n
α + β
– бесконечно малая последовательность.
Теорема 6.2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последо-
вательность (б.м.п.).
Пусть
{
}
{
}
{
}
(1) (2) ( )
, , ...,
s
n n n
α α α
– б.м.п. Покажем, что
( )
1
s
i
n
i=
α
∑
– б.м.п. Применим метод математической индук-
ции. При
2
s
=
теорема верна в силу теоремы 6.1. Пусть теорема верна при
s k
=
, т.е.
( )
1
k
i
n
i=
α
∑
– б.м.п. Покажем, что тео-
рема верна при
1
s k
= +
, т.е. что
1
( )
1
k
i
n
i
+
=
α
∑
есть б.м.п. Имеем:
{ }
1
( ) ( ) ( 1)
1 1
k k
i i k
n n n
i i
+
+
= =
α = α + α
∑ ∑
. (6.6)
В правой части (6.6) записана сумма двух последовательностей, каждая из которых является б.м.п. Следовательно, в силу
справедливости теоремы при
2
s
=
их сумма тоже есть б.м.п.
Теорема 6.3.
Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности есть бесконеч-
но малая последовательность.
Пусть
{
}
n
x
– ограниченная последовательность, т.е.
0 :
n
C x C
∃ > <
,
n
∀ ∈
N
;
{
}
n
α
– б.м.п., т.е. для неё выполняет-
ся (6.4). Покажем, что произведение
{
}
n n
x
α
есть б.м.п. Зафиксируем произвольное
ε >
. В силу (6.4) для числа
C
ε
( ) |
N N N
C
ε
∃ = = ε
n
n N
C
ε
∀ > ⇒ α <
. Тогда для
n n n n
n N x x C
C
ε
∀ > ⇒ α = ⋅ α < ⋅ = ε
. Итак, для
0 ( ) |
n n
N N n N x
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ α < ε
,
а это означает, по определению, что
{
}
n n
x
α
– б.м.п.
Следствие 6.1.
Если
{
}
n
α
– б.м.п., то для
c
∀ ∈
R
{
}
{
}
n n
c c
α = α
тоже б.м.п.
Действительно,
{
}
n
c
α
представляет собой произведение стационарной последовательности
{
}
{
}
n
x c
=
, которая являет-
ся ограниченной (
n
x c
≤
,
n
∀ ∈
N
) и б.м.п.
{
}
n
α
, следовательно, по теореме 6.3
{
}
n
c
α
– б.м.п.
Следствие 6.2.
Линейная комбинация любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п., в частности, разность двух б.м.п. есть
б.м.п.
Следствие 6.2 вытекает из следствия 6.1 и теоремы 6.2.
Следствие 6.3.
Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
Действительно, пусть
{
}
n
α
– б.м.п.,
{
}
n
β
– б.м.п. В силу теоремы 5.3 любая сходящаяся последовательность ограниче-
на, в частности, любая б.м.п. ограничена. Тогда
{
}
n n
α β
можно рассматривать как произведение ограниченной последова-
тельности
{
}
n
α
и б.м.п.
{
}
n
β
, следовательно, в силу теоремы 6.3
{
}
n n
α β
– б.м.п.
Теорема 6.4. Произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
Теорема 6.4 доказывается методом математической индукции (см. доказательство теоремы 6.2).
Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
Теорема 6.5. Если
{
}
n
x
– б.б.п., то обратная ей последовательность
1
n
x
(рассматриваемая с того номера, начиная с
которого все
0
n
x
≠
) есть б.м.п.

Страницы