Математический анализ I. Фомин В.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 1 1 2
2
n n
b
y y b
= < =
.
Получили:
1 2
n
y b
<
,
1
n N
∀ ≥ +
, т.е. последовательность
1
y
ограничена.
Докажем
основную теорему о пределах последовательностей
, согласно которой в результате арифметических операций
над сходящимися последовательностями получаются последовательности, которые тоже сходятся.
Теорема 6.8. Пусть
{
}
n
x
,
{
}
n
y
– сходящиеся последовательности, т.е.
lim
n
n
x a
→∞
=
, (6.9)
lim
n
n
y b
→∞
=
. (6.10)
Тогда их сумма, разность, произведение и частное, т.е. последовательности
{
}
n n
x y
+
,
{
}
n n
x y
−
,
{
}
n n
x y
,
n
x
y
тоже сходятся
и
(
)
lim lim lim
n n n n
n n n
x y x y
→∞ →∞ →∞
+ = +
, (6.11)
(
)
lim lim lim
n n n n
n n n
x y x y
→∞ →∞ →∞
− = −
, (6.12)
(
)
lim lim lim
n n n n
n n n
x y x y
→∞ →∞ →∞
= ⋅
, (6.13)
lim
lim
lim
n
n n
n
n n
n
x
y y
→∞
→∞
→∞
=
, (6.14)
при этом, в случае частного предполагается, что
lim 0
n
n
y
→∞
≠
.
Из (6.9), (6.10) получаем в силу теоремы (6.7)
, ,
n n
x a n= + α ∈
N
где
{
}
n
α
– б.м.п.
; (6.15)
, ,
n n
y b n= +β ∈
N
где
{
}
n
β
– б.м.п.
. (6.16)
Тогда
(
)
(
)
,
n n n n
x y a b n
+ = + + α +β ∈
N
. Положим
,
n n n
n
γ = α +β ∈
N
. В силу теоремы 6.1
{
}
n
γ
– б.м.п. Получили:
(
)
,
n n n
x y a b
+ = + + γ
n
∈
N
, где
{
}
n
γ
– б.м.п. Следовательно, в силу теоремы 6.7
(
)
lim
n n
n
x y a b
→∞
∃ + = +
,
т.е. в силу (6.9),
(6.10) справедлива формула (6.11).
В силу (6.15), (6.16)
(
)
(
)
,
n n n n
x y a b n
− = − + α −β ∈
N
. Положим
,
n n n
n
µ = α −β ∈
N
. В силу следствия 6.2
{
}
n
µ
–
б.м.п. Получили:
(
)
,
n n n
x y a b
− = − + µ
n
∈
N
, где
{
}
n
µ
– б.м.п. Следовательно, в силу теоремы 6.7
(
)
lim
n n
n
x y a b
→∞
∃ − = −
, т.е.
в силу (6.9), (6.10) справедлива формула (6.12).
В силу (6.15), (6.16)
(
)
,
n n n n n n
x y ab a b n
= + β + α + α β ∈
N
. Положим
,
n n n n n
a b n
ν = β + α + α β ∈
N
. В силу следствия 6.3
{
}
n n
α β
– б.м.п. Тогда в силу следствия 6.2
{
}
n
ν
– б.м.п. Получили:
,
n n n
x y ab n
= + ν ∈
N
,
где
{
}
n
ν
– б.м.п.
Следовательно,
в
силу
теоремы 6.7
(
)
lim
n n
n
x y ab
→∞
∃ =
, т.е. в силу (6.9), (6.10) справедлива формула (6.13).
В силу условия
lim 0
n
n
y
→∞
≠
и леммы 6.1
|
N
∃
начиная с номера
1
n N
= +
определена последовательность
1
y
и
1
y
ограничена. Тогда, начиная с номера
1
n N
= +
, определена последовательность
n
x
y
. Используя (6.15), (6.16), получаем
при
1
n N
≥ +
:
( )
1
n n n n
n n
n n n n
x a b a
a a a
y b b b b b y b
+ α α − β
− = − = = α − β
+ β + β
. (6.17)

Страницы