Математический анализ I. Фомин В.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ибо в силу теоремы 6.6
1
n
y
– б.б.п., следовательно, в силу теоремы 5.1
{ }
1
n
n
n n
x
x
y y
= ⋅
– б.б.п. (знак "+" в правой части
(6.22) взят по той причине, что при
→ ∞
1 0
n
x
→ >
,
0 0
n
y
→ +
(
0
n
y
→ +
); запись
0 0
n
y
→ +
(
0
n
y
→ +
) означает, что
n
y
сходится к нулю справа, т.е.
n
y
сходится к нулю, оставаясь больше нуля).
Запись
1
0
в (6.22) носит условный характер: она означает лишь то, что при
→ ∞
предел числителя равен 1, а предел
знаменателя равен 0.
Пример 6.3. Пусть
1
n
n
x
n
+
=
,
n
∈
N
;
n
y n
=
,
n
∈
N
. Тогда:
1
lim 0
n
n
n
x
y
→∞
= =
+∞
,
ибо в силу теоремы 5.3 последовательность
{
}
n
x
ограничена и в силу теоремы 6.5
{ }
1
n
y
– б.м.п., следовательно, в силу тео-
ремы 6.3
{ }
1
n
n
n n
x
x
y y
= ⋅
– б.м.п.
В примерах 6.2, 6.3 нам удалось, зная пределы делимого и делителя, найти предел частного. Иначе обстоит дело, когда,
например, пределы делимого и делителя равны
+∞
(или
−∞
).
Пример 6.4.
2
5 3 1
n
x n n
= + −
,
n
∈
N
;
2
4 2
n
y n n
= + +
,
n
∈
N
. Используя теорему 5.1, получаем:
( )
2 2
2
3 1
lim lim 5 3 1 lim 5
n
n n n
x n n n
n
n
→∞ →∞ →∞
= + − = + − = +∞
,
( )
2 2
2
1 2
lim lim 4 2 lim 4
n
n n n
y n n n
n
n
→∞ →∞ →∞
= + + = + + = +∞
.
Тогда
2
2
2
2
2
2
3 1
3 1
5
5
5 0 0 5
lim lim lim
1 2
1 2
4 0 0 4
4
4
n
n n n
n
n
x
n
n
n
n
y
n
n
n
n
n
→∞ →∞ →∞
+ −
+ −
+∞ + −
= = = = =
+∞ + +
+ +
+ +
.
Получили:
5
lim
4
n
n
n
x
y
→∞
=
.
Пример 6.5. Пусть
2 1
n
x n
= +
,
n
∈
N
;
2
6 1
n
y n n
= + +
,
n
∈
N
. Тогда
2
2
2
1
2
2 1
lim lim lim
6 1
6 1
1
n
n n n
n
n
x
n
n
y
n n
n
n
n
→∞ →∞ →∞
+
+ +∞
= = = =
+∞
+ +
+ +
2
1
2
2
lim 0
6 1
1
n
n
n
n
n
→∞
+
= = =
+∞
+ +
.
Получили:
lim 0
n
n
n
x
y
→∞
=
.
Пример 6.6. Пусть
2
3 4 3
n
x n n
= + +
,
n
∈
N
;
2 5
n
y n
= +
,
n
∈
N
. Тогда
2
2
2
4 3
3
3 4 3
lim lim lim
5
2 5
2
n
n n n
n
n
x
n n
n
n
y n
n
n
→∞ →∞ →∞
+ +
+ + +∞
= = = =
+ +∞
+
2
4 3
3
lim
5
2
2
n
n
n
n
n
→∞
+ +
+∞
= = = +∞
+
.

Страницы