Математический анализ I. Фомин В.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

:
a b
>
. Выберем
0
ε >
таким образом, чтобы
( ) ( )O a O b
ε ε
∩ = ∅
. Положим, например,
3
a b
−
ε =
(рис. 7.1).
Рис. 7.1
По определению предела, для
( )
ε 1 1 1
( ) | ( )
n
N N n N x O a
ε
∃ = ε ∀ > ⇒ ∈
; для
( )
ε
2 2 2
( ) | ( )
n
N N n N y O b
ε
∃ = ε ∀ > ⇒ ∈
. По-
ложим
{
}
1 2
max ,
N N N
=
. Тогда для
∀ >
( )
n
x O a
ε
∈
и
( )
n
y O b
ε
∈
⇒
n n
x y
⇒ >
, ибо
b a
+ ε < − ε
, так как
(
)
a b
− ε − + ε =
2
a b
− − ε =
=
2
( )
3
a b a b
− − − =
1
( ) 0
3
a b
− >
. Получили:
n n
x y
>
для
n N
>
, что противоречит условию (7.1).
.
Переход от (7.1) к (7.2) называется предельным переходом в неравенстве.
Замечание 7.1.
Если в условии (7.1) имеет место строгое неравенство, т.е.
n n
x y
<
для
n
∀ ∈
N
, то в (7.2) строгое нера-
венство не обязательно.
Например, пусть
2
1
( 1)
n
x
n
=
+
,
n
∈
N
;
1
n
y
n
=
,
n
∈
N
. Тогда
n n
x y
<
,
n
∀ ∈
N
, но
lim lim 0
n n
n n
x y
→∞ →∞
= =
.
Замечание 7.2.
В силу замечания 5.3 теорема 7.1 сохраняет силу, если условие (7.1) выполняется, начиная с некоторого
номера
*
n N
=
.
Следствие 7.1.
Если
{
}
n
x
– сходящаяся последовательность,
c
∈
R
и
n
x c
≤
,
n
∀ ∈
N
, то
lim
n
n
x c
→∞
≤
.
Следствие 7.1 вытекает из теоремы 7.1 (в качестве
{
}
n
y
выступает стационарная последовательность
{
}
c
) и того, что
lim
n
c c
→∞
=
.
Следствие 7.2.
Если
{
}
n
x
– сходящаяся последовательность,
c
∈
R
и
n
x c
≥
,
n
∀ ∈
N
, то
lim
n
n
x c
→∞
≥
.
Следствие 7.3.
Если
{
}
n
x
– сходящаяся последовательность;
, ,
a b a b
∈ <
R
и
n
a x b
≤ ≤
,
n
∀ ∈
N
,
то
lim
n
n
a x b
→∞
≤ ≤
.
Замечание 7.3.
В
силу
замечания
5.3
следствие
7.3
можно
обобщить
:
если
начиная
с
некоторого
номера
все
члены
схо
-
дящейся
последовательности
принадлежат
сегменту
[
]
,
a b
,
то
её
предел
тоже
принадлежит
этому
сегменту
.
Теорема 7.2.
Пусть
{
}
n
x
,
{
}
n
z
–
сходящиеся
последовательности
,
имеющие
общий
предел
a
,
а
члены
последователь
-
ности
{
}
n
y
,
удовлетворяют
условию
n n n
x y z
≤ ≤
,
n
∀ ∈
N
. (7.3)
Тогда
последовательность
{
}
n
y
тоже
сходится
,
и
её
предел
равен
a
.
Зафиксируем
произвольное
0
ε >
.
По
определению
предела
для
( )
ε 1 1 1
( ) | ( )
n
N N n N x O a
ε
∃ = ε ∀ >
⇒
∈
;
для
( )
ε
2 2
( ) |
N N
∃ = ε
2
( )
n
n N z O a
ε
∀ >
⇒
∈
.
Положим
{
}
1 2
max ,
N N N
=
.
Заметим
,
что
( )
N N
= ε
,
ибо
1 1
( )
N N
= ε
,
2 2
( )
N N
= ε
.
То
-
гда
для
∀ >
( )
n
x O a
ε
∈
и
( )
n
z O a
ε
∈
,
следовательно
,
в
силу
условия
(7.3)
( )
n
y O a
ε
∈
(
рис
. 7.2).
Рис. 7.2
Получили
:
( ) ( ) | ( )
n
O a N N n N y O a
ε ε
∀ ∃ = ε ∀ >
⇒
∈
,
а
это
означает
,
по
определению
,
что
lim
n
n
y a
→∞
∃ =
.
Замечание 7.4.
В
силу
замечания
5.3
теорема
7.2
сохраняет
силу
,
если
условие
(7.3)
выполняется
,
начиная
с
некоторого
номера
*
n N
=
.
В
теоремах
6.8
и
7.2
мы
,
исходя
из
сходимости
двух
последовательностей
,
доказали
сходимость
третьей
последователь
-
ности
,
связанной
тем
или
иным
образом
с
исходными
последовательностями
.
Возникает
вопрос
:
как
по
виду
самой
последо
-
вательности
определить
,
является
ли
она
сходящейся
.
Определение 7.1.
Последовательность
{
}
n
x
называется
:
•
неубывающей
,
если
1
n n
x x
+
≤
,
n
∀ ∈
N
; (7.4)
•
невозрастающей
,
если
О
ε
(
а
)

Страницы