Математический анализ I. Фомин В.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
n n
x x
+
≥
,
n
∀ ∈
N
; (7.5)
•
монотонной
, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.
Среди монотонных последовательностей выделяют строго монотонные последовательности.
Определение 7.2. Последовательность
{
}
x
называется:
•
возрастающей
, если
1
n n
x x
+
<
,
n
∀ ∈
N
; (7.6)
•
убывающей
, если
1
n n
x x
+
>
,
n
∀ ∈
N
; (7.7)
•
строго монотонной
, если она является либо возрастающей, либо убывающей.
Замечание 7.5.
Неубывающая последовательность ограничена снизу своим первым членом, следовательно, достаточ-
ным условием ограниченности неубывающей последовательности является её ограниченность сверху.
Замечание 7.6.
Невозрастающая последовательность ограничена сверху своим первым членом, следовательно, доста-
точным условием ограниченности невозрастающей последовательности является её ограниченность снизу.
Пример 7.1. Последовательность
1, 1, 2, 2, ... , 1, 1,
n n
− −
, , 1, 1, ...
n n n n
, , 1, 1, ...
n n n n
+ +
– неубывающая.
Пример 7.2. Последовательность
1 1 1 1
1, 1, , , ... , , ,
2 2 1 1
n n
− −
1 1 1 1
, , , , ...
1 1n n n n+ +
– невозрастающая.
Пример 7.3. Последовательность
1
n
n
x
n
=
+
,
n
∈
N
–
возрастающая.
Пример 7.4. Последовательность
1
n
n
x
n
+
=
,
n
∈
N
– убывающая.
Пример 7.5. Последовательность
( 1)
n
n
x
n
−
=
,
n
∈
N
, не является монотонной, ибо знаки её членов чередуются.
Теорема 7.3. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность сходится.
Пусть
{
}
x
– ограниченная сверху неубывающая последовательность, т.е. выполняется условие (7.4) и
|
n
M x M
∃ ∈ ≤
R
,
n
∀ ∈
N
. (7.8)
Условие (7.8) означает, что множество всех элементов последовательности
{
}
x
ограничено сверху, следовательно, по тео-
реме 3.1
{
}
*
sup
n
x M
∃ =
. Покажем, что
*
lim
n
n
x M
→∞
∃ =
. (7.9)
Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу характеристических свойств 3.1) и 3.2) точной верхней грани множества
*
n
x M
≤
,
n
∀ ∈
N
; (7.10)
*
( ) |
N
N N x M
∃ = ε > − ε
. (7.11)
В силу условия (7.4)
n N
x x
≥
,
n N
∀ >
; (7.12)
В силу (7.10) – (7.12)
* *
n
M x M
− ε < ≤
,
n N
∀ >
.
На числовой оси:
Рис. 7.3
Получили: для
*
0 ( ) |
n
N N n N x M
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению, справедливость (7.9).
Следствие 7.4.
Все члены ограниченной сверху неубывающей последовательности не больше её предела.
Теорема 7.4. Всякая ограниченная снизу невозрастающая последовательность сходится.
Пусть
{
}
x
– ограниченная снизу невозрастающая последовательность, т.е. выполняется условие (7.5) и
|
n
m x m
∃ ∈ ≥
R
,
n
∀ ∈
N
. (7.13)

Страницы