Математический анализ I. Фомин В.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Условие (7.13) означает, что множество всех элементов последовательности
{
}
n
x
ограничено снизу, следовательно, по тео-
реме 3.2
{
}
*
inf
n
x m
∃ =
. Покажем, что
*
lim
n
n
x m
→∞
. (7.14)
Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу характеристических свойств 3.а) и 3.б) точной нижней грани множества
*
n
x m
≥
,
n
∀ ∈
N
; (7.15)
*
( ) |
N
N N x m
∃ = ε < + ε
. (7.16)
В силу условия (7.5)
n N
x x
≤
,
n N
∀ >
; (7.17)
В силу (7.15) – (7.17)
* *n
m x m
≤ < + ε
,
n N
∀ >
.
На числовой оси:
Рис. 7.4
Получили: для
*
0 ( ) |
n
N N n N x m
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению, справедливость (7.14).
Следствие 7.5.
Все члены ограниченной снизу невозрастающей последовательности не меньше её предела.
С учётом замечаний 7.5, 7.6 теоремы 7.3 и 7.4 можно сформулировать в виде одной теоремы.
Теорема 7.5. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
В силу теорем 5.3, 7.5 получаем следующий
критерий сходимости монотонной последовательности.
Теорема 7.6. Для сходимости монотонной последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Замечание 7.7.
Не всякая сходящаяся последовательность монотонна.
Например, последовательность
( 1)
n
n
x
n
−
=
,
n
∈
N
, сходится к нулю, но не является монотонной.
Замечание 7.8.
Если неубывающая последовательность не ограничена сверху, то её предел равен
+∞
.
Действительно, пусть неубывающая последовательность
{
}
n
x
не ограничена сверху. Зафиксируем произвольное
0
E
>
.
Тогда
( ) |
N
N N E x E
∃ = >
. (7.18)
В силу условия (7.4)
n N
x x
≥
,
n N
∀ >
. (7.19)
В силу (7.18), (7.19)
n
x E
>
для
n N
∀ >
. Получили: для
0 ( ) |
n
E N N E n N x E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒ >
, а это означает, по определе-
нию, что
lim
n
n
x
→∞
= +∞
.
Замечание 7.9.
Если невозрастающая последовательность не ограничена снизу, то её предел равен
−∞
.
Действительно, пусть невозрастающая последовательность
{
}
n
x
не ограничена снизу. Зафиксируем произвольное
0
E
<
. Тогда
( ) |
N
N N E x E
∃ = <
. (7.20)
В силу условия (7.5)
n N
x x
≤
,
n N
∀ >
. (7.21)
В силу (7.20), (7.21)
n
x E
<
для
n N
∀ >
. Получили: для
0 ( ) |
n
E N N E n N x E
∀ < ∃ = ∀ > ⇒ <
, а это означает, по определе-
нию, что
lim
n
n
x
→∞
= −∞
.
Рассмотрим последовательность
1
1
n
n
x
n
= +
, n
∈
N
. (7.22)
Теорема 7.7. Последовательность (7.22) является сходящейся.
Используем при доказательстве теоремы бином Ньютона [9, с. 86]:

Страницы