Математический анализ I. Фомин В.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
, (7.23)
где
( )
!
, 0
! !
k
n
n
C k n
k n k
= ≤ ≤
−
(7.24)
(
! 1 2 3 ...
m m
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
,
m
∀ ∈
;
0! 1
def
=
; величины (7.24) называются биномиальными коэффициентами). Заметим, что
k
n
C
можно
записать в виде
( 1)( 2) ... ( ( 1))
, 2
!
k
n
n n n n k
C k n
k
− − ⋅ ⋅ − −
= ≤ ≤
. (7.25)
В силу (7.23), (7.25)
( )
1
2
( 1)( 2) ... ( ( 1))
!
n
n
n n n k k
k
n n n n k
a b a na b a b
k
− −
=
− − ⋅ ⋅ − −
+ = + +
∑
. (7.26)
В силу (7.26)
2
1 ( 1)( 2) ... ( ( 1)) 1
1 2
!
n
n
n
k
k
n n n n k
x
n k
n
=
− − ⋅ ⋅ − −
= + = +
∑
или
2
1 1 2 1
2 1 1 ... 1
!
n
n
k
k
x
k n n n
=
−
= + − − ⋅ ⋅ −
∑
. (7.27)
Аналогично,
1
1
1
1
1
n
n
x
n
+
+
= + =
+
1
2
( 1)(( 1) 1)(( 1) 2) ... (( 1) ( 1)) 1
2
!
( 1)
n
k
k
n n n n k
k
n
+
=
+ + − + − ⋅ ⋅ + − −
= +
+
∑
или
1
1
2
1 1 2 1 1
2 1 1 ... 1
! 1 1 1
( 1)
n
n
n
k
k
x
k n n n
n
+
+
=
−
= + − − ⋅ ⋅ − +
+ + +
+
∑
. (7.28)
Заметим, что
1 1 , 1 1
1
s s
s n
n n
− < − ≤ ≤ −
+
. (7.29)
Из (7.27), (7.28) следует в силу (7.29), что
1
n n
x x
+
< , т.е.
{
}
n
x
– возрастающая последовательность.
Из (7.27) видно, что
2
1
2 2
!
n
n
k
x
k
=
< < +
∑
. (7.30)
Заметим, что
1
! 1 2 3 ... 2
k
k k
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ,
2
k
∀ ≥
.
Следовательно,
1
1 1
!
2
k
k
−
≤
,
2
k n
≤ ≤
. (7.31)
В силу (7.30), (7.31) и того, что
1
2
x
=
,
1
2
1
2 2
2
n
n
k
k
x
−
=
≤ < +
∑
. (7.32)
Используя формулу для суммы первых
n
членов геометрической прогрессии
(
)
1
1
1
n
n
b q
S
q
−
=
−
,

Страницы