Математический анализ I. Фомин В.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (7.36) последовательность
{
}
n
a
не убывает и ограничена сверху числом
1
b
. Следовательно, по теореме 7.3
1
lim
n
n
a c
→∞
и в силу следствия 7.4
1
n
a c
≤
,
n
∀ ∈
N
. (7.39)
В силу (7.36) последовательность
{
}
n
b
не возрастает и ограничена снизу числом
1
a
. Следовательно, по теореме 7.4
2
lim
n
n
b c
→∞
∃ =
и в силу следствия 7.5
2
n
b c
≥
,
n
∀ ∈
N
. (7.40)
В силу основной теоремы о пределах (см. теорему 6.8)
(
)
2 1
lim
n n
n
b a c c
→∞
∃ − = −
. (7.41)
В силу (7.37), (7.41)
2 1
0
c c
− =
, т.е.
2 1
c c c
= =
. В силу (7.39), (7.40)
n n
a c b
≤ ≤
,
n
∀ ∈
N
, т.е. выполняется (7.38). Пока-
жем, что другой точки, удовлетворяющей условию (7.38), нет. :
[
]
* *
| ,
n n
c c c a b
∃ ≠ ∈
,
n
∀ ∈
N
. Пусть для определённости
*
c c
>
. Тогда
n
∀ ∈
N
*
0
n n
b a c c
− ≥ − >
, а значит, в силу следствия 7.2
(
)
*
lim 0
n n
n
b a c c
→∞
− ≥ − >
, что противоречит условию
(7.37). .
Л е к ц и я 8. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И
НИЖНИЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
КРИТЕРИЙ КОШИ
Подпоследовательности
;
частичные пределы последовательности
;
теорема Больцано-Вейерштрасса
;
предельные точки
последовательности
,
их связь с частичными пределами последовательности
;
теорема о существовании верхнего и нижнего
пределов ограниченной последовательности
;
признак существования предела последовательности в терминах её верхнего и
нижнего пределов
;
фундаментальные последовательности
,
их свойства
;
критерий Коши.
Введём понятие частичных пределов последовательности.
Определение 8.1.
Подпоследовательностью
(
частичной последовательностью
) последовательности
{
}
n
x
называется
последовательность вида
{
}
1
k
n
k
x
∞
=
, где
{ }
1
k
k
n
∞
=
– некоторая заданная возрастающая последовательность натуральных чисел:
1 2 1
... ...
k k
n n n n
+
< < < < <
.
Из определения 8.1 видно, что данная последовательность
{
}
n
x
имеет бесконечное множество подпоследовательностей.
Определение 8.2.
Частичными пределами последовательности
{
}
n
x
называются пределы её подпоследовательностей.
Пример 8.1. Рассмотрим последовательность
{
}
n
x
вида
( )
3
3 3
1 1 1
1 , , 3 , , ... , 2 1 , , ...
2 4 2
n
n
−
. (8.1)
Если положить
2 1
k
n k
= −
,
k
∈
N
, то получим последовательность вида
( )
3
2 1
k
n
x k
= −
,
k
∈
N
, для которой
lim
k
n
k
x
→∞
= +∞
.
Если положить
2
k
n k
=
,
k
∈
N
, то получим последовательность вида
1
2
k
n
x
k
=
,
k
∈
N
, для которой
lim 0
k
n
k
x
→∞
=
. Таким об-
разом, несобственное число
+∞
и число 0 являются частичными пределами последовательности (8.1). Заметим, что сама
последовательность (8.1) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.
Определение 8.3
. Верхним пределом последовательности
{
}
n
x
называется наибольший частичный предел этой после-
довательности.
Обозначение:
lim
n
n
x x
→∞
=
.
Определение 8.4.
Нижним пределом последовательности
{
}
n
x
называется наименьший частичный предел этой после-
довательности.
Обозначение:
lim
n
n
x x
→∞
=
.
Теорема 8.1. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и сама
последовательность.
Пусть

Страницы