Математический анализ I. Фомин В.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

lim
n
n
x a
→∞
=
, (8.2)
{
}
k
n
x
– подпоследовательность последовательности
{
}
n
x
.
Покажем, что
lim
k
n
k
→∞
=
. (8.3)
Возьмём сколь угодно малое положительное число
ε
. В силу (8.2) для числа
ε
( ) |
n
N N n N x a
∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
. (8.4)
Заметим, что
lim
k
k
n
→∞
= ∞
. (8.5)
В силу (8.5) для номера
N
( ) |
k
K K N k K n N
∃ = ∀ > ⇒ >
. Следовательно, в силу (8.4) , для
k
n
k K x a
∀ > − < ε
. Заме-
тим,
что
( )
K K
= ε
, ибо
( )
K K N
=
,
( )
N N
= ε
. Получили:
0
∀ε >
( ) |K K k K
∃ = ε ∀ > ⇒
k
n
x a
− < ε
, а это означает, по определе-
нию предела, что справедливо (8.3).
Пусть
Ω
– множество частичных пределов последовательности
{
}
n
x
.
Следствие 8.1.
Если
lim
n
n
x a
→∞
=
, то
{
}
a
Ω =
.
Следствие 8.2.
Если
lim
n
n
x a
→∞
=
, то
lim lim
n n
n
n
x x a
→∞
→∞
= =
. (8.6)
Покажем, что для любой ограниченной последовательности множество её частичных пределов непусто.
Теорема 8.2
(
теорема Больцано-Вейерштрасса
).
У всякой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.
Пусть
{
}
n
x
– ограниченная последовательность, т.е.
, |
n
m M m x M
∃ ∈ ≤ ≤R
,
n
N
. (8.7)
Разделим промежуток
[
]
,
m M
пополам и обозначим через
[
]
1 1
,
a b
ту половину промежутка
[
]
,
m M
, которая содержит
бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
(такая половина найдётся, ибо число всех членов последовательности
бесконечно а число частей разбиения равно двум; если каждая из половин содержит бесконечное число членов последова-
тельности, то в качестве
[
]
1 1
,
a b
берём любую из них).
Затем разделим промежуток
[
]
1 1
,
a b
пополам и обозначим через
[
]
2 2
,
a b
ту из полученных половин, которая содержит
бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
. Продолжая этот процесс, приходим к бесконечной последовательности
вложенных друг в друга промежутков:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
1 1 2 2 1 1
, , , ... , , ...
k k k k
m M a b a b a b a b
+ +
⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃
,
при этом, длина
k-
го промежутка выражается формулой
2
k k
k
M m
b a
−
− =
.
Следовательно,
(
)
lim 0
k k
k
b a
→∞
− =
.
Мы оказались в условиях леммы о вложенных промежутках, в силу которой
lim lim
k k
k k
a b c
→∞ →∞
= =
. (8.8)
Учитывая, что каждый из промежутков
[
]
,
k k
a b
,
k
∈
N
, содержит бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
,
построим подпоследовательность последовательности
{
}
n
x
следующим образом: в качестве
1
n
x
возьмём любой из членов
последовательности
{
}
n
x
, содержащихся в
[
]
1 1
,
a b
; в качестве
2
n
x
– любой из членов последовательности
{
}
n
x
, следующих
за
1
n
x
и содержащихся в
[
]
2 2
,
a b
; … ; в качестве
k
n
x
– любой из членов последовательности
{
}
n
x
, следующих за взятыми
1 2 1
, ,...,
k
n n n
x x x
−
и содержащихся в
[
]
,
k k
a b
и т.д. В результате получаем подпоследовательность
{
}
k
n
x
последовательности
{
}
n
x
, для которой

Страницы