Математический анализ I. Фомин В.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

k
k n k
a x b
≤ ≤
,
k
∀ ∈
N
. (8.9)
В силу (8.8), (8.9) и теоремы о пределе промежуточной последовательности (см. теорему 7.2)
lim
k
n
k
x c
→∞
∃ =
.
В силу теоремы 8.2
c
∈Ω
, т.е.
для ограниченной последовательности.
В некоторых учебных пособиях (см., например, [11, с. 87]) теорема 8.2 называется леммой Больцано-Вейерштрасса.
Докажем, что у любой ограниченной последовательности существуют её верхний и нижний пределы. Для этого уточ-
ним вначале природу частичных пределов последовательности.
Определение 8.5. Точка
b
числовой прямой
(
)
,
−∞ +∞
называется
предельной точкой последовательности
{
}
n
x
, если в
любой сколь угодно малой
ε
– окрестности этой точки имеется бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
.
Теорема 8.3. Для того чтобы данная точка числовой прямой была частичным пределом последовательности, необхо-
димо и достаточно, чтобы она была предельной точкой этой последовательности.
Необходимость
. Пусть
b
– частичный предел последовательности
{
}
n
x
, т.е.
∃
подпоследовательность
{
}
{ }
|
k
n n
x x
⊂
lim
k
n
k
x b
→∞
=
. По определению предела,
( ) ( ) |
O b K K
ε
∀ ∃ = ε
( )
k
n
k K x O b
ε
∀ > ⇒ ∈
, т.е. в любой
ε
– окрестности
точки
b
содержится бесконечное число членов последовательности
{
}
k
n
x
и, тем самым, бесконечное число членов последо-
вательности
{
}
n
x
, ибо
{
}
{ }
k
n n
x x
⊂
. А это означает, по определению, что
b
– предельная точка последовательности
{
}
n
x
.
Достаточность
. Пусть
b
– предельная точка последовательности
{
}
n
x
. Рассмотрим систему окрестностей точки
b
сле-
дующего вида:
1 1 1 1 1
2 3 1
( ), ( ), ( ) ,..., ( ), ( ), ...
k k
O b O b O b O b O b
+
. (8.10)
Из определения предельной точки следует, что каждая из окрестностей вида (8.10) содержит бесконечное число членов
последовательности
{
}
n
x
. Построим подпоследовательность последовательности
{
}
n
x
следующим образом: в качестве
1
n
x
возьмём любой из членов последовательности
{
}
n
x
, содержащихся в
1
( )
O b
; в качестве
2
n
x
– любой из членов последова-
тельности
{
}
n
x
, следующих за
1
n
x
и содержащихся в
1
2
( )
O b
; … ; в качестве
k
n
x
– любой из членов последовательности
{
}
n
x
, следующих за уже взятыми
1 2 1
, ,...,
k
n n n
x x x
−
и содержащихся в
1
( )
k
O b
и т.д. В результате получаем подпоследователь-
ность
{
}
k
n
x
последовательности
{
}
n
x
, для которой
1 1
k
n
b x b
k k
− < < +
,
k
∀ ∈
N
. (8.11)
Заметим, что
1 1
lim lim
k k
b b b
k k
→∞ →∞
− = + =
. (8.12)
В силу (8.11), (8.12) и теоремы о пределе промежуточной последовательности
lim
k
n
k
x b
→∞
∃ =
, т.е.
b
– частичный предел
последовательности
{
}
n
x
.
Замечание 8.1.
Если некоторый интервал числовой прямой содержит не более конечного числа членов последователь-
ности, то в этом интервале нет предельных точек данной последовательности.
Действительно, пусть интервал
(
)
,
µ ν
содержит не более конечного числа членов последовательности
{
}
n
x
. :
(
)
, |
b b
∃ ∈ µ ν
– предельная точка последовательности
{
}
n
x
, рис. 8.1.
Рис. 8.1
Возьмём положительное число
ε
, удовлетворяющее условию
{
}
min ,
b b
ε < − µ ν −
. Тогда
(
)
( ) ,
O b
ε
⊂ µ ν
. В
( )
O b
ε
и,
следовательно, в интервале
(
)
,
µ ν
найдётся бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
. Противоречие. .
Замечание 8.2.
Если некоторый отрезок числовой прямой не содержит предельных точек последовательности, то на
этом отрезке имеется не более конечного числа членов данной последовательности.
Действительно, пусть отрезок
[
]
,
µ ν
не содержит предельных точек последовательности
{
}
n
x
. : на отрезке
[
]
,
µ ν
найдётся бесконечное число членов последовательности
{
}
n
x
, т.е.
{
}
{ }
|
k
n n
x x
∃ ⊂
{
}
[ ]
,
k
n
x
⊂ µ ν
. Имеем: последовательность

Страницы