Математический анализ I. Фомин В.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Достаточность. Пусть
{
}
n
x
– ограниченная последовательность и
x x a
= =
. Тогда в силу следствия 8.3 для
0 ( ) |
N N
∀ε > ∃ = ε
)
,
n
n N x x x
∀ > ⇒ ∈ − ε + ε
или, в силу равенства
x x a
= =
,
)
, ( )
n
x a a O a
ε
∈ − ε + ε =
, а это означает, по
определению предела, что
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
.
Докажем общий признак сходимости последовательности, называемый
критерием Коши
.
Определение 8.6. Последовательность
{
}
n
x
называется
фундаментальной
, если для любого сколь угодно малого по-
ложительного числа
ε
( ) |
N N
∃ = ε
,
n m
n m N x x
∀ >
⇒
− < ε
.
Фундаментальная последовательность называется также последовательностью Коши.
Из определения 8.6 следует, что последовательность
{
}
n
x
не является фундаментальной, если
0 | , :
n m
N n m N x x
∃ε > ∀ ∃ > − ≥ ε
. (8.18)
Определение 8.6 можно сформулировать в следующем виде: последовательность
{
}
n
x
называется
фундаментальной
,
если для
0 ( ) | ,
n p n
N N n N p x x
+
∀ε > ∃ = ε ∀ > ∀ ∈ ⇒ − < ε
N
. (8.19)
Пример 8.2. Последовательность
1
n
x
n
=
,
n
∈
N
фундаментальна.
Действительно,
1 1 1
n p n n n p
x x x x
n n p n
+ +
− = − = − <
+
. (8.20)
Возьмём
0
ε >
. Тогда для выполнения неравенства
n p n
x x
+
− < ε
. (8.21)
достаточно в силу (8.20), чтобы
1
n
< ε
или
1
n
>
ε
, т.е. можно положить
1
N
=
ε
, где
1
ε
– целая часть числа
1
ε
. Тогда для
,n N p
∀ > ∀ ∈
N
выполняется
(8.21) .
Итак
,
для
последовательности
{
}
n
x
выполняется
(8.19),
а
это
означает
,
что
она
фунда
-
ментальна
.
Пример 8.3.
Последовательность
1
1
n
n
k
x
k
=
=
∑
,
n
∈
N
не
является
фундаментальной
.
Действительно
,
возьмём
любой
номер
N
;
рассмотрим
некоторый
номер
n N
>
и
положим
2
m n
=
.
Тогда
2
1 1 1 1 1
...
1 2 2 2 2
m n n n
x x x x n
n n n n
− = − = + + + ≥ ⋅ =
+ +
.
Следовательно
,
1
2
m n m n
x x x x
− = − ≥
,
т
.
е
.
для
последовательности
{
}
n
x
выполняется
(8.18)
с
1
2
ε =
,
а
это
означает
,
что
она
не
является
фундаментальной
.
Теорема 8.6.
Любая
фундаментальная
последовательность
ограничена
.
Пусть
{
}
n
x
–
фундаментальная
последовательность
.
Зададим
некоторое
0
ε >
.
Тогда
для
числа
ε
|
N
∃
,
n m
n m N x x
∀ > ⇒ − < ε
,
в
частности
,
при
1
n N
= +
1N m
x x
+
− < ε
для
m N
∀ >
,
т
.
е
.
1 1N m N
x x x
+ +
− ε < < + ε
,
m N
∀ >
. (8.22)
Положим
{
}
1 1 1
max ,
N N
M x x
+ +
= − ε + ε
,
{
}
2 1 2
max , ,...,
N
M x x x
=
,
{
}
1 2
max ,M M M=
.
Тогда
,
учитывая
(8.22),
получаем
:
n
x M
≤
,
n
∀ ∈
N
,
т
.
е
.
последовательность
{
}
n
x
ограничена
.
Теорема 8.7.
Любая
сходящаяся
последовательность
фундаментальна
.
Пусть
{
}
n
x
–
сходящаяся
последовательность
,
т
.
е
.
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
. (8.23)
Зафиксируем
0
ε >
.
В
силу
(8.23)
для
числа
2
ε
( ) |
2
N N N
ε
∃ = = ε
2
n
n N x a
ε
∀ > ⇒ − <
.
Тогда
,
n m N
∀ >
( ) ( )
2 2
n m n m n m
x x x a x a x a x a
ε ε
− = − − − ≤ − + − < + = ε
.

Страницы