Математический анализ I. Фомин В.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В целях краткости вместо словосочетания "абстрактная переменная величина" используются также термины "перемен-
ная величина" или "переменная".
Множество
{
}
x
всех значений, которые может принимать переменная величина
x
, называется
областью изменения
этой переменной.
Для описания взаимосвязи между двумя переменными величинами вводится понятие функции.
Пусть даны две переменные
x
и
y
с областями изменения
X
⊆
R
и
Y
⊆
.
Определение 9.1. Говорят, что на множестве
X
задана
функция
со значениями во множестве
Y
, если каждому значе-
нию переменной
x
из множества
X
ставится в соответствие по заданному закону
f
одно определённое значение перемен-
ной
y
из множества
Y
, при этом
x
называется
независимой переменной
или
аргументом
;
y
–
зависимой переменной
; мно-
жество
X
–
областью определения
(или
областью существования
, или
областью задания
)
функции
(обозначение:
( )
D f
или
( )
D y
); множество
Y
–
областью допустимых значений
функции; множество
{
}
( ) | ( ),
E f y Y y f x x X
= ∈ = ∈
–
областью зна-
чений
(или
областью изменения
) функции.
Заметим, что
( )
E f Y
⊆
.
Обозначение функции:
( )
y f x
=
("игрек равно эф от икс") или
( )
y y x
=
.
Если взять конкретное значение
0
x X
∈
независимой переменной
x
, то ему соответствует конкретное значение
0 0
( )
y f x
=
зависимой переменной
y
, называемое
значением
(или
частным значением
)
функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
.
Если прибегнуть к геометрической интерпретации вещественных чисел (см. лекцию 2), то понятие функции можно
сформулировать на геометрическом языке.
Определение 9.2. Говорят, что на множестве точек
X
числовой прямой
(
)
,
−∞ +∞
задано
отображение
со значениями
во множестве точек
(
)
,Y
⊆ −∞ +∞
, если каждой точке
x
из множества
X
ставится в соответствие по заданному закону
f
одна определённая точка из множества
Y
.
Обозначения:
( )
y f x
=
,
:
f X Y
→
,
f
x y
→
,
( )
f
x f x
→
.
Если взять конкретную точку
0
x X
∈
, то ей соответствует конкретная точка
0 0
( )
y f x Y
= ∈
, называемая
образом точки
0
x
при отображении
f
, при этом точка
0
x
называется
прообразом точки
0
y
при отображении
f
, множество вида
(
)
{
}
0 0
| ( )
y x X f x y
σ = ∈ =
называется
полным прообразом
точки
0
y
при отображении
f
, множество
(
)
{
}
| ( ), ( )
f X y Y y f x x X E f
= ∈ = ∈ =
–
образом множества
X
при отображении
f
, множество
X
–
прообразом множест-
ва
( )
E f
при отображении
f
.
Заметим, что числовую последовательность
1 2
, ,..., ,...
n
y y y
можно рассматривать как бесконечный набор значений
функции
( )
y f n
=
, натурального аргумента
n
:
1 2
(1), (2),..., ( ),...
n
y f y f y f n= = =
.
В силу определений 9.1, 9.2 термины "функция", "отображение" можно использовать как синонимы.
При исследовании свойств функции полезно использовать график этой функции.
Определение 9.3.
Графиком
функции
( )
y f x
=
называется множество точек плоскости
2
R
вида
Г
f
(
)
{
}
, ( ) | ( )
f
x f x x D f
= ∈
.
Во многих случаях график функции представляет собой некоторую линию (кривую) или совокупность линий (кривых)
на плоскости (примеры графиков функций см. ниже). Однако имеются функции, графики которых невозможно изобразить на
чертеже. Рассмотрим, например, функцию Дирихле
−
−
=
число, оерациональн если 1,
число; ьноеиррационал если,0
х
х
y
График этой функции представляет собой объединение всех точек оси
Ox
с иррациональными абсциссами и всех точек пря-
мой
1
y
=
с
рациональными
абсциссами
.
Изобразить
его
на
чертеже
невозможно
,
хотя
отдельные
точки
этого
графика
можно
указать
на
чертеже
,
например
,
точку
7
; 1
4
.
Пусть
функция
( )
y f x
=
удовлетворяет
следующему
условию
:
1 2 1 2 1 2
, ( ), ( ) ( )
x x D f x x f x f x
∀ ∈ ≠ ⇒ ≠
, (9.1)
т
.
е
.
образы
различных
точек
при
отображении
f
различны
.
В
силу
(9.1)
полный
прообраз
каждой
точки
( )
y E f
∈
при
ото
-
бражении
f
состоит
из
одного
элемента
.
Тогда
можно
рассмотреть
функцию
1
f
−
:
( ) ( )
E f D f
→
,
которая
каждой
точке
( )
y E f
∈
ставит
в
соответствие
её
полный
прообраз
:
( )
y E f
∀ ∈
1
( ) | ( )
f y x f x y
−
= =
.

Страницы