Математический анализ I. Фомин В.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция
1
( )
x f y
−
=
называется
обратной функцией
для функции (или к функции)
( )
y f x
=
. Заметим, что
1
( ) ( )
D f E f
−
=
,
1
( ) ( )
E f D f
−
=
. Из определения обратной функции следует, что
)
1
( )
f f x x
−
=
,
( )
x D f
∀ ∈
;
)
1
( )
f f y y
−
=
,
( )
y E f
∀ ∈
.
Функция
( )
y f x
=
, имеющая обратную функцию
1
( )
x f y
−
=
, называется
обратимой
.
Для функции
1
( )
x f y
−
=
обратной функцией будет функция
( )
y f x
=
. Поэтому функции
( )
y f x
=
и
1
( )
x f y
−
=
назы-
ваются
взаимно обратными
.
Укажем один класс обратимых функций.
Определение 9.4. Функция
( )
y f x
=
называется на множестве
( )
D f
Ω ⊆
:
•
неубывающей
, если
1 2
( ) ( )
f x f x
≤
,
1 2 1 2
, ,
x x x x
∀ ∈Ω <
;
•
невозрастающей
, если
1 2
( ) ( )
f x f x
≥
,
1 2 1 2
, ,
x x x x
∀ ∈Ω <
;
•
монотонной
, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей на этом множестве
Ω
.
Определение 9.5. Функция
( )
y f x
=
называется на множестве
( )
D f
Ω ⊆
:
•
возрастающей
, если
1 2
( ) ( )
f x f x
<
,
1 2 1 2
, ,
x x x x
∀ ∈Ω <
;
•
убывающей
, если
1 2
( ) ( )
f x f x
>
,
1 2 1 2
, ,
x x x x
∀ ∈Ω <
;
•
строго монотонной
, если она является либо возрастающей, либо убывающей на этом множестве
Ω
.
Теорема 9.1. Если функция
( )
y f x
=
строго монотонна на
( )
D f
, то для неё существует обратная функция
1
( )
x f y
−
=
.
При этом, если
( )
y f x
=
– возрастающая функция, то
1
( )
x f y
−
=
тоже возрастающая функция; если
( )
y f x
=
– убывающая
функция, то
1
( )
x f y
−
=
тоже убывающая функция.
Пусть для определённости
( )
y f x
=
– возрастающая функция (случай, когда
( )
y f x
=
– убывающая функция, рас-
сматривается аналогично). Тогда для неё выполняется условие (9.1), ибо если
1 2
x x
<
, то
1 2
( ) ( )
f x f x
<
; если
1 2
x x
>
, то
1 2
( ) ( )
f x f x
>
. Следовательно,
1
( )
x f y
−
∃ =
. Покажем, что
1
( )
x f y
−
=
– возрастающая функция. Пусть
)
1
1 2 1 2
, ( ),
y y D f E f y y
−
∈ = <
;
1
1 1
( )
x f y
−
=
,
1
2 2
( )
x f y
−
=
. Покажем, что
1 2
x x
<
. :
1 2
x x
≥
⇒
1 2
( ) ( )
f x f x
≥
, т.е.
1 2
y y
≥
.
Противоречие. .
Пусть функция
( )
y f x
=
,
]
,
x a b
∈
возрастает на отрезке
]
,
a b
. Из рисунка 9.1 видно, что график обратной функции
1
( )
x f y
−
=
совпадает с графиком функции
( )
y f x
=
.
Если у обратной функции
1
( )
x f y
−
=
аргумент
y
обозначить через
x
, а зависимую переменную
x
– через
y
, т.е. поме-
нять местами
x
и
y
, то обратная функция принимает вид
1
( )
y f x
−
=
. Тогда, если точка
( , )
M x y
∈
f
Г
, то точка
1
( , )
M y x
∈
1−
f
Г
. Из рис 9.1 видно, что точка
1
( , )
M y x
симметрична точке
( , )
M x y
относительно прямой
y x
=
. Следо-
вательно, в этом случае график обратной функции
1
( )
y f x
−
=
симметричен графику функции
( )
y f x
=
относительно прямой
y x
=
(которая является биссектрисой первой и третьей четверти координатной плоскости).

Страницы