Математический анализ I. Фомин В.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Итак, для
0 ( ) | ,
n m
N N n m N x x
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению, что последовательность
{
}
n
x
фунда-
ментальна.
Теорема 8.8. Любая фундаментальная последовательность сходится.
Пусть
{
}
n
x
– фундаментальная последовательность. Зададим произвольное сколь угодно малое положительное чис-
ло
ε
. Тогда для числа
2
ε
1 1 1
2
N N N
ε
∃ = = ε
1
,
2
n m
n m N x x
ε
∀ > ⇒ − <
. (8.24)
По теореме 8.6 последовательность
{
}
n
x
ограничена, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса
∃
подпосле-
довательность
{
}
{ }
|
k
n n
x x
⊂
lim
k
n
k
x a
→∞
=
. (8.25)
В силу (8.25) для числа
2
ε
( ) |
2 2
k
K K K k K n
n n n n n x a
ε ε
∃ = = ε ∀ >
⇒
− <
. (8.26)
Положим
2
K
N n
=
. Заметим, что
2 2
( )
N N
= ε
, ибо
( )
K K
n n
= ε
. Пусть
{
}
1 2
max ,
N N N
=
. Заметим, что
( )
N N
= ε
, ибо
1 1
( )
N N
= ε
,
2 2
( )
N N
= ε
. Возьмём некоторое
k
n N
>
, тогда
2
k K
n N n
> =
и в силу (8.26)
2
k
n
x a
ε
− <
. (8.27)
Учитывая (8.24) получаем для
n N
∀ >
:
1
1
2
k
n n
k k
n N n N
x x
n N n N
> ⇒ >
ε
⇒ − <
> ⇒ >
. (8.28)
В силу (8.27), (8.28) для
n N
∀ >
( ) ( )
2 2
k k k k
n n n n n n n
x a x x x a x x x a
ε ε
− = − + − ≤ − + − < + = ε
.
Итак, для
0 ( ) |
n
N N n N x a
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению предела, что
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
.
Теоремы 8.7, 8.8 приводят к следующему утверждению.
Теорема 8.9.
(
критерий Коши
). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фунда-
ментальной.
В силу критерия Коши последовательность из примера 8.2 сходится, а последовательность из примера 8.3 не является
сходящейся.
Заметим, что теорема 8.9 справедлива только для числовых последовательностей. Если рассматривать последователь-
ности, членами которых являются элементы произвольного метрического пространства, то теоремы 8.6, 8.7 сохраняют свою
силу, однако теорема 8.9 в общем случае неверна, т.е. существуют метрические пространства, в которых не всякая фунда-
ментальная последовательность сходится (см. например, [9, с. 315]). В связи этим среди метрических пространств выделяют
полные пространства, а именно, пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность сходится.
Л е к ц и я 9. ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Переменная величина
,
область изменения переменной величины
;
понятие функции
,
график функции
;
обратная функ-
ция
;
монотонные и строго монотонные функции
;
теорема об обратимости строго монотонной функции
;
график обратной
функции
;
основные способы задания функции
:
непосредственный
,
табличный
,
графический
,
алгоритмический
,
аналитиче-
ский
;
некоторые свойства функций
:
ограниченность
,
чётность
,
нечётность
,
периодичность
.
При изучении различных явлений и процессов реального мира требуется находить количественные взаимосвязи между
различными переменными величинами, характеризующими эти явления и процессы. Например, а) при изучении движения
некоторого объекта нужно установить зависимость пройденного объектом пути
s
от времени
t
, то есть нужно найти закон
движения
( )
s s t
=
; б) при определении высоты места
h
над уровнем моря полезно знать зависимость величины
h
от давле-
ния воздуха
p
в этом месте, т.е. зависимость вида
( )
h h p
=
.
В математике отвлекаются от физического смысла рассматриваемых переменных величин, т.е. рассматривают абст-
рактные переменные величины, характеризующиеся только числовыми значениями, которые они могут принимать.

Страницы