Математический анализ I. Фомин В.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

{ }
{
}
k
k n
y x
=
ограничена, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса
{
}
{ }
|
m
k k
y y
∃ ⊂
lim
m
k
m
y b
→∞
=
, где
]
,
b
∈ µ ν
.
Получили:
b
– частичный предел последовательности
{
}
n
x
, следовательно, по теореме 8.3
b
– предельная точка последова-
тельности
{
}
n
x
; кроме того,
]
,
b
∈ µ ν
. Противоречие. .
Теорема 8.4. У всякой ограниченной последовательности существуют её верхний и нижний пределы.
Пусть
{
}
n
x
– ограниченная последовательность, т.е. выполняется (8.7);
Ω
– множество частичных пределов после-
довательности
{
}
n
x
;
H
– множество предельных точек последовательности
{
}
n
x
.
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса
0
Ω ≠
. В силу теоремы 8.3
H
Ω =
. (8.13)
Покажем, что множество
Ω
ограничено. Пусть
b
∈Ω
. Это означает, что существует подпоследовательность
{
}
k
n
x
последо-
вательности
{
}
|
n
x
lim
k
n
k
x b
→∞
=
. В силу (8.7)
k
n
m x M
≤ ≤
,
k
∀ ∈
N
. (8.14)
Из (8.14) получаем в силу следствия 7.3, что
m b M
≤ ≤
. Итак,
m b M
≤ ≤
для
b
∀ ∈Ω
, т.е. множество
Ω
ограничено. По
теореме 3.3 множество
Ω
имеет точную верхнюю грань
*
M
и точную нижнюю грань
*
m
. Покажем, что
*
M
∈Ω
. :
*
M
∈ Ω
, следовательно, в силу (8.13)
*
M H
∈
, т.е.
)
*
O M
ε
∃
, в которой содержится не более конечного числа членов по-
следовательности
{
}
n
x
. Тогда в силу замечания 8.1
)
*
O M H
ε
∩ = ∅
, следовательно, в силу (8.13)
)
*
O M
ε
∩ Ω = ∅
. (8.15)
С другой стороны,
*
sup
M
= Ω
⇒
)
* *
0 0
| ,
b b M M
∃ ∈Ω ∈ − ε ⊂
)
*
O M
ε
⊂
⇒
)
*
O M
ε
∩ Ω ≠ ∅
, что противоречит
(8.15). . Итак,
*
M
∈Ω
и
*
sup
M
= Ω
⇒
*
lim
n
n
x x M
→∞
∃ = =
. Покажем, что
*
m
∈Ω
. :
*
m
∈ Ω
, следовательно, в силу
(8.13)
*
m H
∈
, т.е.
)
1
*
O m
ε
∃
, в которой содержится не более конечного числа членов последовательности
{
}
n
x
. Тогда в силу
замечания 8.1
)
1
*
O m H
ε
∩ = ∅
, следовательно, в силу (8.13)
)
1
*
O m
ε
∩ Ω = ∅
. (8.16)
С другой стороны,
*
infm
= Ω ⇒
1
|
b
∃ ∈ Ω
)
1 * * 1
,b m m
∈ + ε ⊂
)
1
*
O m
ε
⊂
⇒
)
1
*
O m
ε
∩ Ω ≠ ∅
, что противоречит (8.16).
.
Итак,
*
m
∈Ω
и
*
inf
m
= Ω
⇒
*
lim
n
n
x x m
→∞
∃ = =
.
В силу (8.13)
]
,
H x x
⊂
. (8.17)
Следствие 8.3.
Для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
вне интервала
)
, x x
− ε + ε
содержится не
более конечного числа членов последовательности
{
}
n
x
.
Действительно, в силу (8.7) левее точки
m
и правее точки
M
нет членов последовательности
{
}
n
x
; в силу (8.17) отрез-
ки
]
, m x
− ε
,
]
,
x M
+ ε
не содержат предельных точек последовательности
{
}
n
x
, следовательно, в силу замечания 8.2 на
каждом из них имеется не более конечного числа членов последовательности
{
}
n
x
⇒
вне интервала
)
, x x
− ε + ε
содержит-
ся не более конечного числа членов последовательности
{
}
n
x
.
Укажем признак существования предела последовательности в терминах её верхнего и нижнего пределов.
Теорема 8.5. Для того чтобы последовательность
{
}
n
x
сходилась к числу
a
, необходимо и достаточно, чтобы она была
ограниченной и чтобы её верхний и нижний пределы совпадали и равнялись числу
a
.
Необходимость. Пусть
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
. Тогда в силу необходимого признака сходимости (см. теорему 5.3) последова-
тельность
{
}
n
x
ограничена и в силу следствия 8.2
x x a
= =
.

Страницы