Математический анализ I. Фомин В.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

получаем:
1
1
2
1 1
1
2 2
1
1
1
2
1
2
n
n
k
k
−
−
=
−
= <
−
∑
. (7.33)
В силу (7.32), (7.33)
2 3
n
x
≤ <
. (7.34)
Итак, последовательность
{
}
n
x
возрастает и ограничена сверху. Следовательно, в силу теоремы 7.3
{
}
n
x
является схо-
дящейся последовательностью.
В силу (7.34) и следствия 7.2
n
n
x
→∞
≤ ≤
.
Предел последовательности (7.22) принято обозначать латинской буквой
e
:
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
+ =
. (7.35)
Предел (7.35) называется
вторым замечательным пределом.
Известно [11, с. 81], что
e
– иррациональное число, т.е. бесконечная непериодическая десятичная дробь:
2,718281...
e
=
.
Число
e
используется в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию
e
называются
нату-
ральными
и обозначаются знаком
ln
без указания основания, например
ln5
(по определению,
ln5 log 5
e
=
).
Из формулы перехода от одного основания логарифма к другому
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
получаем формулу, связывающую десятичные и натуральные логарифмы:
1
lg ln
ln10
b b
=
.
Число
1
lg 0,434294...
ln10
M e= = =
называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным.
Докажем утверждение, известное как лемма о вложенных промежутках [11, с. 82].
Определение 7.3. Замкнутый промежуток
[
]
,
µ ν
называется вложенным в замкнутый промежуток
[
]
,
α β
, если
[
]
[
]
, ,
a a
∀ ∈ µ ν ⇒ ∈ α β
(т.е. если
α ≤ µ < ν ≤ β
), (см. рис. 7.5).
Рис. 7.5
Лемма 7.1.
Пусть дана бесконечная последовательность вложенных друг в друга замкнутых промежутков
[
]
[
]
[
]
[
]
1 1 2 2 1 1
, , ... , , ...
n n n n
a b a b a b a b
+ +
⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃
(7.36)
и длины этих промежутков при
n
→ ∞
стремятся к нулю:
(
)
lim 0
n n
n
b a
→∞
− =
. (7.37)
Тогда концы
n
a
и
n
b
промежутков стремятся к общему пределу:
lim lim
n n
n n
a b c
→∞ →∞
= =
и
c
является единственной точкой,
принадлежащей всем этим промежуткам:
[
]
,
n n
c a b
∈
,
n
∀ ∈
N
. (7.38)

Страницы