Математический анализ I. Фомин В.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Получили:
lim
n
n
n
x
y
→∞
= +∞
.
Пример 6.7. Пусть
1
2 ( 1)
n
n
x n
+
= + −
,
n
∈
N
;
n
y n
=
,
n
∈
N
. Тогда
1
1
2 ( 1)
lim lim lim 2 ( 1)
n
n
n
n n n
n
n
x
y n
+
+
→∞ →∞ →∞
+ −
+∞
= = = + −
+∞
– не существует.
Из примеров 6.4 – 6.7 видно: даже зная, что делимое и делитель сходятся к
+∞
, нельзя в общем случае сделать вывод о
том, чему будет равен предел частного. В связи с этим вводят понятие неопределённости.
Определение 6.4. Говорят, что частное
n
n
x
y
,
n
∈
N
представляет собой при
n
→ ∞
неопределённость
типа
∞
∞
, если
lim
n
n
x
→∞
= +∞
(или
−∞
) и
lim
n
n
y
→∞
= +∞
(или
−∞
).
Аналогичная картина наблюдается, когда при нахождении пределов мы приходим к условным записям вида
0
0
,
0
⋅∞
,
∞ − ∞
. В этом случае тоже нельзя заранее сказать, чему будет равен предел соответствующего выражения ([11, с. 60]); для
нахождения такого предела нужно учесть конкретный вид последовательностей
{
}
n
x
,
{
}
n
y
и характер их поведения при
n
→ ∞
, или, как принято говорить, раскрыть неопределённость.
Итак, при вычислении пределов последовательностей, получаемых в результате арифметических операций над другими
последовательностями, могут возникать неопределённости четырёх типов:
∞
∞
,
0
0
,
0
⋅∞
,
∞ − ∞
. (6.23)
Неопределённость типа
0
⋅∞
сводится с помощью теорем 6.5 и 6.6 к неопределённости типа
∞
∞
или
0
0
:
( )
( )
lim 0 lim
1
n
n n
n n
n
y
x y
x
→∞ →∞
∞
= ⋅∞ = =
∞
,
( )
( )
0
lim 0 lim
1
0
n
n n
n n
n
x
x y
y
→∞ →∞
= ⋅∞ = =
.
Неопределённость типа
∞ − ∞
сводится к неопределённости типа
∞
∞
и, возможно, в дальнейшем к неопределённости
типа
0
⋅∞
:
( )
( )
lim lim 1 1
n
n n n
n n
n
y
x y x
x
→∞ →∞
∞
− = ∞ − ∞ = − = ∞ −
∞
.
Л е к ц и я 7.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ.
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ПРОМЕЖУТКАХ
Предельный переход в неравенстве
;
теорема о пределе промежуточной последовательности
;
понятие монотонной по-
следовательности
;
теорема о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности
;
второй замечатель-
ный предел
;
лемма о вложенных промежутках.
В некоторых случаях соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны между собой знаком не-
равенства. Возникает вопрос: связаны ли тем же знаком неравенства пределы этих последовательностей.
Теорема 7.1. Пусть
{
}
n
x
,
{
}
n
y
– сходящиеся последовательности и
n n
x y
≤
,
n
∀ ∈
N
. (7.1)
Тогда
lim lim
n n
n n
x y
→∞ →∞
≤
. (7.2)
Пусть
lim
n
n
x a
→∞
=
,
lim
n
n
y b
→∞
=
. Нужно доказать, что
a b
≤
.

Страницы