Математический анализ I. Фомин В.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Положим
1
n n n
n
a
y b
σ = α − β
,
1
n N
≥ +
. В силу следствия 6.2 и теоремы 6.3
{
}
n
– б.м.п. В силу (6.17)
n
n
n
x
a
y b
= + σ
,
1
n N
≥ +
, где
{
}
n
– б.м.п. Следовательно, в силу теоремы 6.7
lim
n
n
n
x
a
y b
→∞
∃ =
, т.е. в силу (6.9), (6.10) справедлива формула
(6.14).
Наряду с правилами (6.11) – (6.14) отметим ещё два свойства, используемые при нахождении пределов последователь-
ностей.
Замечание 6.3.
Постоянная последовательность
{
}
{
}
n
x c
=
сходится и
lim
n
c c
→∞
=
. (6.18)
Действительно, для
0
∀ε >
,
n
∀ ∈
N
0 0
n
x c c c
− = − = = < ε
, т.е. в качестве номера
N
в определении (5.10) можно
взять любое натуральное число.
Замечание 6.4.
Если последовательность сходится к числу
a
, то для
c
∀ ∈
R
последовательность
{
}
{
}
n n
c x cx
=
сходит-
ся к числу
ca
:
(
)
lim lim
n n
n n
cx c x
→∞ →∞
=
, (6.19)
т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
Действительно, последовательность
{
}
n
cx
представляет собой произведение сходящихся последовательностей
{
}
c
и
{
}
n
x
, следовательно, в силу теоремы 6.8 является сходящейся последовательностью и в силу формул (6.13), (6.18)
(
)
lim lim lim lim
n n n
n n n n
cx c x c x
→∞ →∞ →∞ →∞
= ⋅ =
.
Заметим, что свойство (6.19) можно доказать, не прибегая к свойству (6.13).
Действительно, если
0
c
=
, то
{
}
0
n
cx
=
и в силу свойства (6.18)
(
)
lim lim 0 0
n
n n
cx
→∞ →∞
= =
, но
0 0 lim
n
n
x
→∞
= ⋅ ⇒
(
)
lim 0 0 lim
n n
n n
x x
→∞ →∞
⋅ = ⋅
. Пусть
0 0
c c
≠
⇒
≠
. Пусть
0
ε >
. Тогда в силу (6.7) для числа
c
ε
( ) |
N N N
c
ε
∃ = = ε
n
n N x a
c
ε
∀ > ⇒ − <
. Тогда для
n N
∀ >
( )
n n n
cx ca c x a c x a c
c
ε
− = − = ⋅ − < ⋅ = ε
. Получили: для
0
∀ε >
N N
∃ = ε
n N
∀ > ⇒
n
cx ca
− < ε
, а это означает по определению, что
(
)
lim
n
n
cx ca
→∞
∃ =
.
Теорема 6.9. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, и
её предел равен сумме пределов этих последовательностей:
( ) ( )
1 1
lim lim
s s
i i
n n
n n
i i
x x
→∞ →∞
= =
=
∑ ∑
. (6.20)
Теорема 6.9 доказывается методом математической индукции (её справедливость при
2
s
=
установлена в теореме 6.8.).
Следствие 6.4.
Линейная комбинация любого конечного числа сходящихся последовательностей есть сходящаяся по-
следовательность и её предел равен линейной комбинации пределов этих последовательностей с теми же коэффициентами.
( ) ( )
1 1
lim lim
s s
i i
i n i n
n n
i i
c x c x
→∞ →∞
= =
=
∑ ∑
. (6.21)
Следствие 6.4 вытекает из замечания 6.4 и теоремы 6.9.
Теорема 6.9 и следствие 6.4 позволяют находить пределы последовательностей, получаемых в результате арифметиче-
ских операций над сходящимися последовательностями.
Возможна ситуация, когда при вычислении предела суммы, разности, произведения и частного двух последовательно-
стей предел хотя бы одной из них равен
+∞
(или
−∞
), а в случае частного предел знаменателя равен нулю.
В простейших случаях такая ситуация разрешается непосредственно.
Пример 6.2. Пусть
1
n
n
x
n
+
=
,
n
∈
N
;
1
n
y
n
=
,
n
∈
N
. Тогда
lim 1
n
n
x
→∞
=
(см пример 5.3),
lim 0
n
n
y
→∞
=
(см. пример 6.1).
Имеем:
1
lim
0
n
n
n
x
y
→∞
= = +∞
, (6.22)

Страницы