Математический анализ I. Фомин В.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (5.22) для числа
1
E
=
* *
| 1
n
N n N x
∃ ∀ > ⇒ >
⇒
0
n
x
⇒ ≠
,
*
n N
∀ ≥ +
, т.е. последовательность
1
n
x
оп-
ределена, например, начиная с номера
*
1
n N
= +
. Возьмем произвольное сколь угодно малое
ε >
. Тогда в силу (5.22) для
числа
1
E
= >
ε
1 1
( ) ( ) |
n
N N E N N n N x
∃ = = = ε ∀ > ⇒ >
ε ε
, т.е.
1 1
n n
x x
= < ε
. Получили: для
1
0 ( ) |
n
N N n N
x
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ < ε
, а это означает, по определению (см. (6.4)), что
1
n
x
– б.м.п.
В силу теоремы 6.5 последовательности
1
2 1
n
y
n
=
+
,
n
∈
N
;
1
2
n
y
n
=
−
,
n
∈
N
;
1
1
( 1)
n
n
y
n
+
=
−
,
n
∈
N
, обратные к после-
довательностям из примеров 5.4, 5.5, 5.7, являются б.м.п.
Теорема 6.6. Если
{
}
n
α
– б.м.п. и
0
n
α ≠
,
n
∀ ∈
N
, то обратная ей последовательность
1
n
α
есть б.б.п.
Возьмём произвольное сколь угодно большое
0
E
>
. Тогда в силу (6.4) для числа
1
E
ε = >
1
( ) ( ) |
N N N N E
E
∃ = ε = =
1
n
n N
E
∀ > ⇒ α <
, т.е.
1 1
n n
E
= >
α α
. Получили: для
0 ( ) |
E N N E n N E
∀ > ∃ = ∀ >
1
0 ( ) |
n
E N N E n N E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒ >
α
, а это означает, по определению (см. (5.22)), что
1
n
α
– б.б.п.
Например, в силу теоремы 6.6 последовательность
n
y n
=
,
n
∈
N
, обратная к последовательности из примера 6.1, явля-
ется б.б.п.
Укажем
простейший признак сходимости последовательности.
Теорема 6.7.
Для последовательности
{
}
n
x
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
⇔
{
}
, , ãäå -á.ì .ï .
n n n
x a n= + α ∈ α
N
(*) (**)
Необходимость: (*)
⇒
(**). Пусть выполняется (*). Это означает, по определению, что для
0 ( ) |
n
N N n N x a
∀ε > ∃ = ε ∀ >
⇒
− < ε
. (6.7)
Положим
n n
x a
− = α
,
n
∈
N
, тогда (6.7) принимает вид (6.4), а это означает, по определению, что
{
}
n
α
– б.м.п. Получили:
n n
x a
= + α
,
n
∈
N
, где
{
}
n
α
– б.м.п.
Достаточность: (**)
⇒
(*). Пусть выполняется (**). Тогда имеет место (6.4). Из равенства
n n
x a
= + α
следует, что
n n
x a
α = −
. Подставляя в (6.4)
n
x a
−
вместо
n
α
, получаем (6.7), а это означает, по определению, что
lim
n
n
x a
→∞
∃ =
.
В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 6.1. Пусть для последовательности
{
}
n
y
lim
n
n
y b
→∞
∃ =
и
0
b
≠
. Тогда, начиная с некоторого номера, определена
последовательность
1
n
y
и
1
n
y
ограничена.
По определению предела, для
0 ( ) |
N N
∀ε > ∃ = ε
n
n N y b
∀ >
⇒
− < ε
. В частности, для числа
0
2
b
ε = >
( ) |
N N
∃ = ε
2
n
b
y b− <
,
n N
∀ >
. (6.8)
Используя (4.38), (6.8), получаем
n N
∀ >
:
( )
2
n n n n n
b
b y y b y y b y
= − − ≤ + − < + ⇒
0
2 2
n n n
b b
b y y y
⇒ < + ⇒ > ⇒ ≠
,
n N
∀ >
,
т.е. начиная с номера
1
n N
= +
определена последовательность
1
n
y
. Далее, для
1
n N
∀ ≥ +
где
– б.м.п.

Страницы