Математический анализ I. Фомин В.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Например, последовательность (5.20) ограничена (ибо
1
n
x
≤
для
n
∀ ∈
N
), но не является сходящейся.
Л е к ц и я 6. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Арифметические операции над последовательностями
;
бесконечно малые последовательности
,
их свойства
;
связь меж-
ду бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями
;
простейший признак сходимости последовательно-
сти
;
основная теорема о пределах последовательностей
;
неопределённые выражения.
Введём понятия арифметических операций над последовательностями. Пусть даны две последовательности
{
}
n
x
и
{
}
y
.
Определение 6.1.
Суммой последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
y
называется последовательность вида
{
}
n n
x y
+
;
разно-
стью
– последовательность вида
{
}
n n
x y
−
;
произведением
– последовательность вида
{
}
n n
x y
;
частным
– последователь-
ность вида
n
n
x
y
(в случае частного предполагается, что
0
n
y
≠
для
n
∀ ∈
N
).
Замечание 6.1.
Из определения произведения последовательностей видно, что произведение последовательности
{
}
n
x
на постоянную последовательность
{
}
{
}
n
y c
=
есть последовательность вида
{
}
n
cx
. Последовательность
{
}
n
cx
будем назы-
вать также произведением последовательности
{
}
n
x
на число
c
и обозначать
{
}
n
c x
.
Определение 6.2.
Линейной комбинацией последовательностей
{
}
{
}
{
}
(1) (2) ( )
, , ...,
s
n n n
x x x
называется выражение вида
{
}
{
}
{
}
(1) (2) ( )
1 2
...
s
n n s n
x x xα + α + + α
, (6.1)
где
1 2 s
, , ...,
α α α
– некоторые числа, называемые
коэффициентами линейной комбинации.
Краткое обозначение (6.1):
{ }
( )
1
s
i
i n
i
x
=
α
∑
.
Итак, по определению, (6.1) – это последовательность вида
{
}
(1) (2) ( )
1 2
...
s
n n s n
x x xα + α + + α
. (6.2)
Краткое обозначение (6.2):
( )
1
s
i
i n
i
x
=
α
∑
.
Замечание 6.2.
Если лишь конечное число членов последовательности
{
}
y
обращается в нуль, то частное
n
n
x
y
мож-
но определить с того номера, начиная с которого все
0
n
y
≠
.
Среди сходящихся последовательностей выделяется класс бесконечно малых последовательностей (бесконечно малых
величин). Члены таких последовательностей принято обозначать строчными буквами греческого алфавита.
Определение 6.3. Последовательность
{
}
n
α
называется
бесконечно малой
, если её предел равен нулю:
lim 0
n
n→∞
α =
, (6.3)
т.е., согласно определению предела, если для
0 ( ) |
n
N N n N
∀ε > ∃ = ε ∀ >
⇒
α < ε
, (6.4.)
или в силу (5.15), если для
(0) ( ) | (0)
n
O N N n N O
ε ε
∀ ∃ = ε ∀ >
⇒
α ∈
. (6.5)
Пример 6.1. Последовательность
1
n
n
α =
,
n
∀ ∈
N
является бесконечно малой.
Действительно, для произвольно заданного
0
ε >
положим
1
N
=
ε
. Тогда
1
n
n N
n
∀ > ⇒ α = < ε
(см. пример 5.3), а
это означает в силу (6.4), что
lim 0
n
n→∞
α =
.
Укажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 6.1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Страницы