Математический анализ I. Фомин В.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Л е к ц и я 5. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие числовой последовательности
;
ограниченные и неограниченные последовательности
;
предел последовательно-
сти
;
бесконечно большие последовательности
;
сходящиеся и расходящиеся последовательности
;
теорема о единственности
предела
;
предельный переход в равенстве
;
теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
В математическом анализе важную роль имеют числовые последовательности. В частности, с их помощью удобно опи-
сывать различные объекты или процессы, для которых переход из одного возможного состояния в другое может совершать-
ся лишь в дискретные моменты времени
1 2
, , ... , , ...
n
t t t
(другими словами, поэтапно).
Определение 5.1. Если каждому натуральному числу
n
ставится в соответствие по заданному закону (правилу)
f
не-
которое число
n
x
∈
R
, то говорят, что задана
числовая последовательность
(ч.п.)
1 2
, , ... , , ...
n
x x x
, (5.1)
при этом числа
,
n
x n
∈
N
называются членами (или элементами) ч.п. (
1
– первый член ч.п.,
2
x
– второй член ч.п., …,
n
x
–
n
-й (или общий) член ч.п., …).
Можно рассматривать последовательности, членами которых являются функции (такие последовательности называют-
ся функциональными). Однако в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением числовых последовательностей и будем назы-
вать их в целях краткости последовательностями.
Краткое обозначение последовательности (5.1):
{ }
1
n
n
x
∞
=
или
{
}
n
x
.
Последовательность
{
}
n
x
считается заданной, если указан закон
f
, по которому можно найти любой её элемент
n
x
.
Последовательность можно задать, указав явную формулу для её общего члена:
( ),
n
x f n n
= ∈
N
.
Пример 5.1.
3
1
n
x
n
=
,
n
∈
N
. Это последовательность вида
3 3 3 3
1 1 1 1
1, , , , ..., , ...
2 3 4
n
. (5.2)
Последовательность можно задать, указав рекуррентную формулу для её общего члена, т.е. формулу, выражающую
n
x
через предшествующие члены
1 2 1
, , ... ,
n
x x x
−
(или через часть предшествующих членов).
Пример 5.2.
1 1
x b
=
(
1 1
, 0
b b
∈ ≠
R
),
1n n
x x q
−
= ⋅
,
n
∈
N
,
2
n
≥
, (
, 0
q q
∈ ≠
R
).
Это
последовательность
вида
2 1
1 1 1 1
, , ,..., , ...
n
b b q b q b q
−
. (5.3)
Из
школьного
курса
математики
известно
,
что
последовательность
(5.3) –
это
,
по
определению
,
геометрическая
про
-
грессия
с
первым
членом
1
b
и
знаменателем
q
.
Если
n
x c
=
,
n
∀ ∈
N
,
где
const
c
=
,
то
такая
последовательность
, , , ..., , ...
c c c c
называется
постоянной
(
или
стационарной
).
Пусть
дана
последовательность
{
}
n
x
.
Совокупность
всех
её
элементов
образует
некоторое
множество
вещественных
чисел
.
Исходя
из
понятий
ограниченного
сверху
,
ограниченного
снизу
и
ограниченного
множества
вещественных
чисел
(
см
.
лекцию
3),
приходим
к
следующим
определениям
.
Определение 5.2.
Последовательность
{
}
n
x
называется
ограниченной сверху
,
если
|
n
M x M
∃ ∈ ≤
R
для
n
∀ ∈
N
, (5.4)
при
этом
число
M
называется
верхней границей
(
верхней гранью
)
последовательности
{
}
n
x
.
Если
последовательность
{
}
n
x
ограничена
сверху
,
то
множество
всех
её
верхних
границ
бесконечно
(
см
.
замечание
3.1).
Определение 5.3.
Последовательность
{
}
n
x
называется
ограниченной снизу
,
если
|
n
m x m
∃ ∈ ≥
R
для
n
∀ ∈
N
, (5.5)
при
этом
число
m
называется
нижней границей
(
или
нижней гранью
)
последовательности
{
}
n
x
.
Если
последовательность
{
}
n
x
ограничена
снизу
,
то
множество
всех
её
нижних
границ
бесконечно
(
см
.
замечание
3.3).
Определение 5.4.
Последовательность
{
}
n
x
называется
ограниченной
,
если
она
ограничена
сверху
и
ограничена
снизу
,
т
.
е
.

Страницы