Математический анализ I. Фомин В.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

{
}
{
}
: ,
x x c c c
∈ = = −R
;
{
}
(
)
: ,
x x c c c
∈ < = −R
;
{
}
[
: ,
x x c c c
∈ ≤ = −R
;
{
}
(
)
(
)
: , ,x x c c c
∈ > = −∞ − ∪ +∞
R
;
{
}
(
[
)
: , ,x x c c c
∈ ≥ = −∞ − ∪ +∞
R
.
Введём в области вещественных чисел операцию умножения.
Пусть
,
α β∈
R
,
0
α >
,
0
β >
;
AA
′
|
и
|
B B
′
–
сечения
в
области
рациональных
чисел
,
определяющие
числа
α
и
β
.
То
-
гда
выполняются
неравенства
(4.1), (4.2).
Рассмотрим
множества
вида
{
}
1
| , , 0, 0
ab a A b B a b
= ∈ ∈ > >
Φ
;
{
}
2
| , , 0, 0
a b a A b B a b
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= ∈ ∈ > >
Φ
.
Определение 4.5.
Произведением положительных вещественных чисел
α
и
β
называется
вещественное
число
γ
,
ко
-
торое
удовлетворяет
условию
ab a b
′ ′
≤ γ ≤
,
ab
1
∀ ∈
Φ
,
a b
2
′ ′
∀ ∈
Φ
. (4.31)
Обозначение
:
αβ = γ
.
Определение
4.5
корректно
в
силу
следующего
утверждения
,
доказательство
которого
аналогично
доказательству
тео
-
ремы
4.1.
Теорема 4.2.
Существует
единственное
вещественное
число
γ
,
удовлетворяющее
условию
(4.31):
1 2
sup inf
γ = =
Φ Φ
.
Произведение произвольных вещественных чисел
α
и
β
определяется
по
следующему
правилу
:
∀α∈
R
0 0 0
α⋅ = ⋅α =
,
в
частности
,
0 0 0
⋅ =
;
,
∀α β∈
R
,
0
α ≠
,
0
β ≠
полагают
, åñëè è î äí î ãî çí àêà,
, åñëè è ðàçí û õ çí àêî â.
α ⋅ β α β
α⋅β =
− α ⋅ β α β
(4.32)
Из
школьного
курса
математики
известно
,
что
, 0
r r
∀ ∈ ≠
Q
1 1
| 1
r
r r
∃ ∈ ⋅ =
Q
,
при
этом
число
1
r
называется
обратным
числом
по
отношению
к
числу
r
.
Введём
аналогичное
понятие
для
иррационального
числа
α
.
Рассмотрим
вначале
случай
0
α >
.
Пусть
AA
′
|
–
сечение
в
области
рациональных
чисел
,
определяющее
число
α
.
Положим
{ }
1
| 0 |
C r r a A
a
′ ′
= ∈ ≤ ∪ ∈
′
Q
; (4.33)
1
| , 0
C a A a
a
′
= ∈ >
. (4.34)
Проведя
рассуждения
,
аналогичные
тем
,
что
изложены
на
стр
. 33,
приходим
к
выводу
,
что
|
C C
′
–
сечение
в
области
рацио
-
нальных
чисел
,
при
этом
в
классе
C
нет
наибольшего
числа
и
в
классе
C
′
нет
наименьшего
числа
.
Следовательно
,
сечение
|
C C
′
определяет
иррациональное
число
ν
:
|C C
′
→ ν
.
Определение 4.6.
Числом
,
обратным положительному иррациональному числу
α
,
порождаемому
сечением
AA
′
|
,
на
-
зывается
иррациональное
число
ν
,
порождаемое
сечением
|
C C
′
вида
(4.33), (4.34).
Обозначение
:
1
ν =
α
или
1
−
ν = α
.
Обратное
число
обладает
следующим
характеристическим
свойством
:
1
1
α⋅ =
α
. (4.35)
Действительно
,
пусть
1
µ = α⋅
α
.
Согласно
определению
4.5
если
α
и
β
одного
знака
;
если
α
и
β
разных
знаков
.

Страницы