Математический анализ I. Фомин В.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

{
}
|
B a a A
′
= − ∈
. (4.16)
На числовой оси рис. 4.2
Рис. 4.2
Покажем, что
|
B B
′
– сечение в области рациональных чисел. По определению 1.1
A
≠ ∅
,
A
′
⇒
B
≠ ∅
,
B
′
. Пока-
жем, что
B B
′
∪ =
Q
,
т
.
е
.
для
r
∀ ∈
Q
либо
r B
∈
,
либо
r B
′
∈
.
Имеем
:
r
∈
Q
⇒
r
⇒
− ∈
Q
⇒
либо
r A
− ∈
,
либо
r A
′
− ∈
.
Если
r A
− ∈
,
то
в
силу
(4.16)
( )
r B
′
− − ∈
,
т
.
е
.
r B
′
∈
.
Если
r A
′
− ∈
,
то
в
силу
(4.15)
( )
r B
− − ∈
,
т
.
е
.
r B
∈
.
Покажем
,
что
мно
-
жества
B
,
B
′
удовлетворяют
условиям
1), 2)
из
определения
1.1.
Установим
,
что
B B
′
∩ = ∅
. :
r B B
′
∃ ∈ ∩
.
Имеем
:
r B r A
r A A
r B r A
′
∈ ⇒ − ∈
′
⇒ − ∈ ∩ = ∅
′
∈ ⇒ − ∈
.
Противоречие
. .
Покажем
,
что
для
,
b B b B b b
′ ′ ′
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ <
.
Имеем
:
b B b A
b b b b
b B b A
′
∈ ⇒ − ∈
′ ′
⇒ − < − ⇒ <
′ ′ ′
∈ ⇒ − ∈
.
Итак
,
|
B B
′
–
сечение
в
области
рациональных
чисел
,
при
этом
в
классе
B
нет
наибольшего
числа
и
в
классе
B
′
нет
наи
-
меньшего
числа
(
это
следует
из
того
,
что
в
классе
A
нет
наибольшего
числа
и
в
классе
A
′
нет
наименьшего
числа
).
Следо
-
вательно
,
сечение
|
B B
′
определяет
иррациональное
число
β
:
|B B
′
→ β
.
Определение 4.2.
Числом
,
противоположным иррациональному числу
α
,
порождаемому
сечением
|
A A
′
,
называется
иррациональное
число
β
,
порождаемое
сечением
|
B B
′
вида
(4.15), (4.16).
Обозначение
:
β = −α
.
Из
определения
видно
,
что
противоположное
число
−α
единственно
.
Укажем
характеристическое
свойство
противоположного
числа
:
( ) 0
α + −α =
. (4.17)
Действительно
,
пусть
( )
α + −α = γ
.
Согласно
определению
4.1
a b a b
′ ′
+ ≤ γ ≤ +
,
,
a A b B
∀ ∈ ∈
,
a A b B
∀ ∈ ∈
,
,
a A b B
′ ′ ′ ′
∈ ∈
,
a A b B
′ ′ ′ ′
∈ ∈
,
или
в
силу
(4.15), (4.16)
a a a a
′ ′
− ≤ γ ≤ −
,
a A
∀ ∈
,
a A
′ ′
∈
. (4.18)
По
условию
2)
из
определения
1.1
a a
′
<
для
a A
∀ ∈
,
a A
′ ′
∈ ⇒
⇒
0
a a
′
− <
,
0
a a
′
− >
.
В
силу
этого
число
0
тоже
удовле
-
творяет
условию
(4.18):
0
a a a a
′ ′
− ≤ ≤ −
,
a A
∀ ∈
,
a A
′ ′
∈
.
В
силу
единственности
суммы
0
γ =
,
т
.
е
.
( ) 0
α + −α =
.
Из
определения
противоположного
числа
вытекают
следующие
свойства
для
,
α β∈
R
:
0 0
α > ⇒ − α <
; (4.19)
0 0
α < ⇒ − α >
; (4.20)
α < β
⇒
− α > −β
. (4.21)
Из
определения
4.2
следует
,
что
числом
,
противоположным
числу
−α
,
является
число
α
.
Поэтому
α
и
−α
можно
на
-
зывать
взаимно противоположными числами.
Операция
сложения
обладает
следующими
свойствами
:
1
○
.
α + β = β + α
,
,
∀α β∈
R
(
коммутативность
или
переместительное
свойство
сложения
);
2
○
.
(
)
(
)
α + β + γ = α + β + γ
,
, ,
∀α β γ ∈
R
(
ассоциативность
или
сочетательное
свойство
сложения
);
3
○
.
0
α + = α
,
∀α ∈
R
(
особая
роль
нуля
);
4
○
.
( ) 0
α + −α =
,
∀α ∈
R
.
Свойство
4
○
доказано
выше
(
см
. (4.17)).
Справедливость
свойств
1
○
–3
○
непосредственно
вытекает
из
определения
4.1
и
справедливости
соответствующих
свойств
для
рациональных
чисел
.
0

Страницы