Математический анализ I. Фомин В.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
1
13
a
n
+ <
.
Имеем:
2
2
2 1
13
a
a
n
n
+ + <
или
2
2
2 1
13
a
a
n
n
+ < −
. (1.4)
Так как
2
a a
n n n
n
+ ≤ +
,
n
∀ ∈
N
, то для выполнения (1.4.) достаточно, чтобы
2
2 1
13
a
a
n n
+ < −
или
2
2 1
13
a
n
a
+
>
−
. (1.5)
Итак, если взять
n
, удовлетворяющее условию (1.5), то число
2
1
a a A
n
= + ∈
. Мы указали
2 2
|
a A a a
∈ >
. А это означает, что
в классе
A
нет наибольшего числа.
Замечание 1.6.
Существование натурального числа
n
, удовлетворяющего условию (1.5), следует из аксиомы Архимеда:
для
, 0 |
c c n n c
∀ ∈ > ∃ ∈ >
Q N
.
Покажем, что в классе
A
′
нет наименьшего числа. Возьмём произвольное фиксированное
a A
′ ′
∈
, т.е.
0
a
′
>
и
2
13
a
′
> ⇒
2
13 0
a
′
− >
. Покажем, что число вида
1
1
a a
n
′ ′
= −
при достаточно большом
n
∈
N
удовлетворяет условию
1
a A
′ ′
∈
,
т.е.
2
1
13
a
′
>
:
2
1
13
a
n
′
− >
.
Имеем:
2
2
2 1
13
a
a
n
n
′
′
− + >
или
2
2
2 1
13
a
a
n
n
′
′
− < −
. (1.6)
Так как
2
2 1 2
a a
n n
n
′ ′
− <
,
n
∀ ∈
N
, то для выполнения (1.6) достаточно, чтобы
2
2
13
a
a
n
′
′
< −
или
2
2
13
a
n
a
′
>
′
−
. (1.7)
Если взять
n
, удовлетворяющее условию (1.7), то
1
1
a a A
n
′ ′ ′
= − ∈
. Указано число
1 1
|
a A a a
′ ′ ′ ′
∈ <
, следовательно, в классе
A
′
нет наименьшего числа.
Мы показали, что в
A
нет наибольшего числа, а в
A
′
нет наименьшего числа, т.е. нет рационального числа, которое яв-
лялось бы пограничным между нижним и верхним классами сечения. В области рациональных чисел обнаруживается про-
бел, не позволяющий решить уравнение
2
13
x
=
в рациональных числах, т.е. найти длину гипотенузы рассмотренного выше
ABC
∆
. Чтобы устранить пробелы такого рода вводят новые объекты – иррациональные числа.
Определение 1.2. Будем говорить, что всякое сечение
AA
′
|
в области рациональных чисел, для которого в нижнем
классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего числа, определяет
иррациональное число
α
.
Это число
α
является пограничным между классами
A
и
A
′
.
В примере 1.3 в качестве иррационального числа
α
выступает
13
.
В дальнейшем мы будем связывать всякое иррациональное число
α
с тем сечением
AA
′
|
в области рациональных чи-
сел, которое его определяет:
|A A
′
→ α
.
Таким образом, существует только три вида сечений в области рациональных чисел:
а) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе есть наименьшее число (пример 1.1);
б) в нижнем классе есть наибольшее число, а в верхнем классе нет наименьшего числа (пример 1.2);
в) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего числа (пример 1.3);
Замечание 1.7.
С учётом замечания 1.5 будем рассматривать в дальнейшем только два вида сечений в области рацио-
нальных чисел, а именно, сечения вида а) и в).
Определение 1.3.
Вещественными
(
действительными
)
числами
называются рациональные и иррациональные числа.
Пусть
R
– множество вещественных чисел,
W
– множество иррациональных чисел. Тогда
= ∪
R Q W
. Заметим также,
что
⊂ ⊂ ⊂
N Z Q R
.
Укажем, как сравнивать по величине два вещественных числа. Пусть
,
α β∈
R
.

Страницы