Математика 1.1. Фомин В.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 13
Задача 2.2. Привести уравнение кривой второго порядка (, ) 0fxy
=
к каноническому виду и найти точки пересече-
ния ее с прямой
0Ax By C++=. Построить графики кривой и прямой.
22
49836680xyxy−−−−=, 30x
+
= .
Решение.
Используя формулы алгебры
()
2
22
2aabbab++=+;
()
2
22
2a abb ab−+=−,
преобразуем левую часть уравнения кривой, выделяя полные квадраты двучленов:
()
(
)
22
421494436680xx yy−+−− +++−=;
()( )
22
419 236xy
−
−+=
.
Разделим обе части полученного уравнения на 36:
()()
22
12
1
94
xy−+
−
= . (47)
Введем новые координаты
X
,
Y
по формулам 1
X
x
=
− ,
2Yy
+
. Тогда 0X
=
, 0Y
=
при 1x = ,
2y =−
, т.е. новое начало
координат имеет вид
()
1
1; 2O −
, а уравнение (47) принимает вид
22
22
1
32
XY
−
= . (48)
Уравнение (48) является каноническим уравнением гиперболы в ДПСК
1
X
OY с полуосями 3a = , 2b = .
Найдем точки пересечения гиперболы с прямой
30x
+
= :
22
49836680 ;
30 .
xyxy
x
−−−−=
+=
Из второго уравнения системы получаем 3x =− . Тогда первое уравнение системы принимает вид
22
4( 3) 9 8( 3) 36 68 0yy− − −−− − =
или после упрощения
2
93680yy
+
+=.
Решая полученное квадратное уравнение, находим
1
627
3
y
−−
=
;
2
627
3
y
−+
=
.
Таким образом, прямая 30x += пересекает гиперболу в двух точках
1
627
3;
3
M

−−
−



;
2
627
3;
3
M

−+
−



.
Выполним чертеж (рис. 14).

Страницы