Математика 1.1. Фомин В.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

xux
uyy
′
′
=
′
, (76)
т.е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу
u
и про-
изводной промежуточного аргумента
u по основному аргументу
x
.
Например, согласно правилу (76) производная функции
3
sin
y
x= имеет вид
()
22
3sin sin 3sin cosyxx xx
′
′
=⋅=⋅
(данную функцию можно записать в виде
3
yu= , sinux
=
).
Правило (76) распространяется на сложную функцию, состоящую из более, чем двух, звеньев. Например, если
( ( ( )))yywux= , то
xwux
yywu
′
′′′
=
⋅⋅. (77)
Согласно правилу (77) производная функции
3
ln cos
y
x= имеет вид
2
3
1
3cos ( sin )
cos
yxx
′
=⋅ ⋅−
(данную функцию можно представить в виде lnyw= ,
3
wu
=
, cosux
=
).
Укажем правило дифференцирования функции, заданной параметрически:
()
()
x
t
yt
=
ϕ
=
ψ
tT
∈
.
Пусть функции tϕ( ) и tψ( ) дифференцируемы на множестве T и t
′
ϕ
()≠0 для любого tT∈ . Пусть функция
x
t=ϕ( )
имеет обратную функцию
tx
−1
=ϕ ( )
. Тогда справедлива формула
()
()
x
t
y
t
′
ψ
′
=
′
ϕ
или
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
.
При дифференцировании функций используется таблица производных основных элементарных функций (см. прил. 3).
Задача 3.4. Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных:
а)
4
5sin2
x
yxe=−; б)
2
sin 3yx= ;
в)
1sin2
1sin2
x
y
x
+
=
−
; г)
{
3
3
5sin ;
3cos .
x
t
yt
=
=
Решение.
а)
44
(5sin 2 ) 5 (sin 2 ) ( )
xx
yxe xe
′′′′
=−=⋅−=
44
5cos2 2 4 10cos2 4 ,
xx
x
exe=⋅−⋅= −
4
10cos 2 4 ;
x
yxe
′
=−
б)
2
(sin 3 ) 2sin 3 cos3 3 3sin 6yxxx x
′′
==⋅⋅=
(использована формула тригонометрии 2sin cos sin 2αα= α), 3sin6yx
′
=
;
2
2
1sin2 (1sin2)(1sin2)(1sin2)(1sin2)
1sin2
(1 sin 2 )
cos 2 2 (1 sin 2 ) (1 sin 2 ) ( cos 2 ) 2
(1 sin 2 )
xxxxx
x
x
xxxx
x
′
′
′
++−−+−

=
==

−
−

⋅⋅ − − + ⋅− ⋅
==
−
22
2cos2 (1 sin2 1 sin2 ) 4cos2
(1 sin 2 ) (1 sin 2 )
x
xx x
x
x
−++
==
−−
,
2
4cos2
(1 sin 2 )
x
y
x
′
=
−
;
,
,
в) y
′

Страницы