Математика 1.1. Фомин В.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3.4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию ()yfx= , ()
x
Dy∈ . Пусть
0
x
− внутренняя точка множества ()Dy, т.е.
00
() () ()Ox Ox Dy
δδ
∃⊂.
Придадим
0
x
приращение
x
∆ , т.е. рассмотрим точку
0
x
x
+
∆ (приращение
x
∆
должно быть достаточно малым, а
именно, таким, чтобы
0
()
x
xDy+∆ ∈ ; приращение
x
∆
может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда функ-
ция
()fx получит приращение
00
()()yfx x fx∆= +∆ − .
Величина
y∆ показывает насколько изменилась функция при переходе из точки
0
x
в точку
0
x
x+∆ . Отношение
y
x
∆
−
это средняя скорость изменения функции при изменении аргумента на участке
[
]
00
,
x
xx
+
∆ . А величина
0
lim
x
y
x
∆→
∆
∆
(75)
является мгновенной скоростью изменения функции ()fx в точке
0
x
. В различных прикладных задачах функция ()fx опи-
сывает некий процесс, и важно знать скорость протекания этого процесса, т.е. необходимо работать с величинами вида (75).
В связи с этим вводят следующее определение.
Производная функции
()fx в точке
0
x
:: = конечный предел отношения приращения функции в этой точке к прираще-
нию аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:
0
0
() lim
x
y
fx
x
∆→
′
=
∆
или, учитывая вид y∆ ,
00
0
0
()()
() lim
x
fx x fx
fx
x
∆→
+∆ −
′
=
∆
.
Функция ()fx называется дифференцируемой в точке
0
x
, если она имеет в этой точке конечную производную.
Функция
()fx называется дифференцируемой на множестве ()DDy⊆ , если она дифференцируема в каждой точке
этого множества.
Пусть функция
()yfx= дифференцируема на множестве ()DDy⊆ . Тогда каждой точке
x
D∈ можно поставить в со-
ответствие производную
()fx
′
функции ()fx во взятой точке
x
. Тем самым на множестве
D
задана функция ()yfx
′
′
=
,
называемая производной функции
()fx.
Производную
()yfx
′′
= обозначают также символом
dy
dx
.
Операция нахождения производной
()fx
′
функции ()fx называется дифференцированием.
При дифференцировании функции применяют основную теорему о производных.
Теорема. Пусть функции ()uux= , ()vvx= дифференцируемы на множестве ()DDy⊆ . Тогда сумма, разность,
произведение и частное этих функций тоже дифференцируемы на множестве
D и справедливы формулы:
1)
[]
() () () ()ux vx u x v x
′
′′
+=+;
2)
[]
() () () ()ux vx u x v x
′
′′
−=−;
3)
[]
()() ()() () ()uxvx u xvx uxv x
′
′′
=+;
4)
[]
2
() ()() () ()
()
()
ux u xvx uxv x
vx
vx
′
′′

−
=


(в случае частного предполагается, что
() 0vx ≠ для
x
D
∀
∈ ).
Если
()fx C≡ для ()
x
Dy∀∈ , то
5)
()
0C
′
= .
Из свойств 3), 5) следует, что
6)
[]
() ()Cu x Cu x
′
′
=
.
При нахождении производных функций используется также правило дифференцирования сложной функции, выражен-
ное следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция ()uux= дифференцируема на множестве ()DDu⊆ , а функция ()yyu= дифференци-
руема на множестве
()uD . Тогда сложная функция (())yyux
=
дифференцируема на множестве D и справедлива формула

Страницы