Математика 1.1. Фомин В.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3(2 4)
32
32
3
3
lim 1
32
x
x
x
x
x
−−
+
+
−
→∞

−


=+ =


+



3(2 4)
lim
32
32
3
2
3
lim 1
32
x
x
x
x
x
e
x
→∞
−−
+
+
−
−
→∞

−


=+ =


+



,
2
A
e
−
= .
Задача 3.2 решена.
3.3. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
3.3.1. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Правосторонний предел
0
(0)fx
+
функции ()fx в точке
0
x
::
=
предел функции
()fx в точке
0
x
, вычисленный при
условии, что
x
стремится к
0
x
справа, т.е.
x
стремится к
0
x
, оставаясь больше
0
x
:
0
0
0
(0)lim()
xx
fx fx
→+
+
=
(запись
0
0xx→+ означает, что
x
стремится к
0
x
справа).
Левосторонний предел
0
(0)fx− функции ()fx в точке
0
x
::
=
предел функции ()fx в точке
0
x
, вычисленный при ус-
ловии, что
x
стремится к
0
x
слева, т.е.
x
стремится к
0
x
, оставаясь меньше
0
x
:
0
0
0
(0)lim()
xx
fx fx
→−
−
=
(запись
0
0xx→− означает, что
x
стремится к
0
x
слева).
Правосторонний и левосторонний пределы функции
()fx в точке называются односторонними пределами этой функ-
ции в данной точке.
3.3.2. ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
∃
(
)
0
00
lim ( ) ( 0) , ( 0)
xx
fx A fx fx
→
⇔∃ + − ∧
00
(0)(0)fx fx A
∧
+= −=. (73)
3.3.3. ПРИЗНАК НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть функция ()fx непрерывна в точке
0
x
, т.е.
0
0
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→
∃
= . Тогда в силу (73) ()fx непрерывна в точке
⇔
0
x
(
)
00
(0) , (0)fx fx∃+ −∧
000
(0)(0)()fx fx fx+= −= . (74)
Предельная точка
0
x
множества ()Dy, называется точкой разрыва функции ()fx, если в этой точке функция ()fx не
является непрерывной.
Из (74) видно, что
0
x
является точкой разрыва функции в следующих случаях:
1) существуют конечные односторонние пределы
0
(0)fx
+
,
0
(0)fx
−
и
00
(0)(0)fx fx
+
=−, но
0
()
x
Dy
∈
; в этом
случае
0
x
называется устранимой точкой разрыва функции ()fx;
2) существуют конечные односторонние пределы
0
(0)fx
+
,
0
(0)fx
−
, но
00
(0)(0)fx fx
+
≠−; в этом случае
0
x
на-
зывается точкой разрыва первого рода функции
()fx (или точкой конечного разрыва); разность
00
(0)(0)fx fx+− − назы-
вается скачком функции
()fx в точке
0
x
;
3) хотя бы один из односторонних пределов
0
(0)fx
+
,
0
(0)fx
−
равен бесконечности (не важно какого знака); в этом
случае
0
x
называется точкой разрыва второго рода функции ()fx (или точкой бесконечного разрыва).
Задача 3.3. Исследовать функцию ()yfx= на непрерывность:
а) найти точки разрыва функции, если они существуют;
б) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;
в) построить график функции.

Страницы