Математика 1.1. Фомин В.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где −
− nn
aaaa ,...,,,
110
некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, при этом
0
0a ≠ .
Часть слагаемых в выражении для многочлена может отсутствовать. Это означает, что коэффициенты при соответст-
вующих степенях многочлена равны нулю. Например, выражение
3
52110xx
−
+= является многочленом 3-й степени
(
012 3
5; 0; 2; 11aaa a== =−=).
Заметим, что
0
0
0;
, если
lim ( )
0.
, если
n
x
a
Px
a
→∞
>
∞
=
<
−∞
(69)
Действительно,
1
01 1
lim ( ) lim ...
nn
nnn
xx
Px ax ax a x a
−
−
→∞ →∞

=++++=

1
1
0
1
lim ...
n
nn
nn
x
aa
a
xa
x
xx
−
−
→∞


=++++=




В силу (69) отношение
()
()
n
m
Px
Qx
(70)
двух многочленов ()
n
Px и ()
m
Qx представляет собой при
x
→∞ неопределенность типа
∞
∞
(так говорят по той причине,
что предел такого отношения может оказаться равным конечному ненулевому числу, нулю или бесконечности, в зависимости
от соотношения по величине между
n
и
m
).
Для раскрытия такой неопределенности надо числитель и знаменатель дроби (70) разделить на
l
x
, где
{
}
max ,lnm= , а
затем применить основную теорему о пределах.
Если вычисляется предел отношения (70) при
0
x
x→ и это отношение представляет собой при
0
x
x→ неопределен-
ность типа
0
0
, то для раскрытия такой неопределенности числитель и знаменатель дроби (70) делят на двучлен
0
x
x
−
(такое
деление корректно, ибо
0
x
x→ , но
0
x
x≠ , следовательно,
0
0xx
≠ ; кроме того, такое деление осуществляется нацело, ибо
если
0
x
− корень многочлена, то данный многочлен делится нацело на
0
x
x
−
; такое деление можно провести по правилу
уголка или по схеме Горнера (Горнер В.Д. (1786 − 1837) − английский математик)).
При вычислении некоторых пределов используется первый замечательный предел
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
(71)
и второй замечательный предел
1
lim 1
x
x
e
x
→∞

+
=


. (72)
В силу (71)
0
tg
lim 1
x
x
x
→
=
.
Если в (72) произвести замену
1
x
α
= ( 0α→ при
x
→∞), то второй замечательный предел можно записать в виде
1
0
lim (1 ) e
α
α→
+
α=.
Функция ()yfx= называется непрерывной в точке
0
()
x
Dy
∈
, если существует
0
0
lim ( ) ( )
xx
fx fx
→
= .
Функция
()yfx= называется непрерывной на множестве ()DDy⊆ , если она непрерывна в каждой точке этого мно-
жества.
Справедлива основная теорема о непрерывных функциях.
Теорема. Пусть функции ()uux= , ()vvx= непрерывны на множестве ()DDy⊆ . Тогда сумма, разность, произве-
дение и частное этих функций тоже непрерывны на множестве
D (в случае частного предполагается, что () 0vx
≠
для
x
D∀∈ ).
Основные элементарные функции (см. прил. 1) непрерывны на своей области определения.
0
0
0
, 0;
()
, 0.
a
a
a
∞
>
=∞⋅ =
−
∞<

Страницы