Математика 1.1. Фомин В.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
lim ( )
xx
fx A
→
=
. (68)
Таким образом, соотношение (68) означает, по определению, следующее:
∀ 0ε>
0
() 0 ( ):0 xDy xx∃δ=δ ε > ∀ ∈ < − <δ ⇒ ()fx A
−
<ε.
Условие
0
0 xx<− <δ означает, что
0
()
x
Ox
δ
∈
&
. Аналогично, условие ()fx A
−
<ε означает, что () ( )fx O A
ε
∈
. В свя-
зи с этим можно дать геометрическое определение предела функции в точке.
Точка А называется пределом функции
()fx в точке
0
x
, если для ()OA
ε
∀
00
(), () (): () Ox xDyxOx
δδ
∃δ=δε∀∈ ∈⇒
&
() ( )fx O A
ε
∈ (рис. 40).
Рис. 40
При вычислении пределов функций применяют основную теорему о пределах:
Теорема. Пусть функции ()uux= , ()vvx= имеют в точке
0
x
конечные пределы. Тогда сумма, разность, произведе-
ние и частное этих функций тоже имеют конечные пределы в точке
0
x
и справедливы формулы:
1)
[
]
000
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
xx xx xx
ux vx ux vx
→→→
+= +
;
2)
[
]
000
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
xx xx xx
ux vx ux vx
→→→
−= − ;
3)
[
]
000
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
xx xx xx
ux vx ux vx
→→→
⋅= ⋅ ;
4)
0
0
0
lim ( )
()
lim
() lim ()
xx
xx
xx
ux
ux
vx vx
→
→
→
=
(в случае частного предполагается, что
0
lim ( ) 0
xx
vx
→
≠ ).
Если
()fx C≡ для ()
x
Dy∀∈ и
0
x
− предельная точка множества ()Dy, то
5)
0
lim
xx
CC
→
= ,
т.е. предел постоянной равен этой постоянной.
Из свойств 3), 5) следует, что
6)
[
]
00
lim ( ) lim ( )
xx xx
Cu x C u x
→→
= ,
т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
В качестве предельной точки
0
x
множества ()Dy может выступать бесконечно удаленная точка ∞ .
Число А называется пределом функции
()fx при
x
→∞
, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
найдется положительное число
, определяемое в зависимости от взятого числа
ε
, такое, что для любого ()
x
Dy
∈
, тако-
го что
x >∆, выполняется неравенство ()fx A−<ε.
Обозначение:
lim ( )
x
fx A
→∞
=
.
Многочлен n-й степени одной переменной
x
::
=
выражение вида
1
01 1
() ...
nn
nn
Px ax ax a x a
−
−
=+ +++ ,

Страницы