Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
*
f M
ζ ≤ γ
,
γ
∈
ζ
∀
. (15.28)
Заметим, что
0
z r
ζ − =
,
γ
∈
ζ
∀
. (15.29)
Используя (15.28), (15.29), оценим модуль подынтегральной функции
( ) ( )
( )
0
/
n
g f z
+
ζ = ζ ζ −
: для
γ
∈
ζ
∀
имеем
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
*
1 1 1 1
00
n n n n
f f
f M
g
r r
z
z
+ + + +
ζ ζ
ζ γ
ζ = = = ≤
ζ −
ζ −
.
В силу оценки (10.34) получаем
( )
( )
( )
*
1 1
0
n n
f M
d l
r
z
γ
+ +
γ
ζ γ
ζ ≤
ζ −
∫
, (15.30)
где
γ
l – длина окружности
γ
. Заметим, что rl π=
γ
2 . Тогда, в силу (15.27), (15.30)
(
)
(
)
nn
n
r
M
r
r
M
c
γ
=π
γ
π
≤
+
*
1
*
2
2
1
,
т.е. справедлива оценка (15.25).
Неравенства (15.25) называются неравенствами Коши.
Теорема 15.4 (теорема Лиувилля). Любая целая функция, ограниченная по модулю на всей комплексной плоскости,
постоянна.
Пусть целая функция
(
)
zf ограничена по модулю на
Χ
, т.е.
(
)
0 :
M f z M
∃ > ≤
,
Χ
∈
∀
z
. (15.31)
В силу замечания 15.5 функция
(
)
zf
представима в виде (15.19). Рассмотрим окружность
γ
произвольного радиуса
0
>
r
с
центром в точке
0
0
=z
. Возьмём открытый круг
(
)
0
R
O
(
)
0|
R
O⊂γ
. Функция
(
)
zf
аналитична на
Χ
, в частности она
аналитична в открытом круге
(
)
0
R
O
. Следовательно, в силу теоремы 15.3 для коэффициентов в разложении (15.19)
справедлива оценка (15.25). В силу (15.31)
(
)
MM ≤γ
*
,
(
)
0
r
S=γ∀
. (15.32)
В силу (15.25), (15.32)
n
n
r
M
c ≤≤0
,
{
}
0∪∈∀ Νn
,
0
>
∀
r
. (15.33)
Заметим, что
(
)
0/lim =
+∞→
n
r
rM
для
Ν
∈
∀
n
. Тогда, переходя в (15.33) к пределу при
+∞
→
r
и учитывая, что
nn
r
cc =
+∞→
lim
,
получаем в силу теоремы о предельном переходе в неравенствах [2.8, с. 72]:
0=
n
c
,
Ν
∈
∀
n
, т.е.
0=
n
c
,
Ν
∈
∀
n
.
Следовательно, в силу (15.19)
(
)
0
czf ≡
.
Следствие 15.2. Целые функции
zsin
и
z
cos
(см. пример 9.1) не являются ограниченными по модулю функциями на
всей комплексной плоскости.
Напомним, что эти функции при действительных значениях аргумента ограничены по модулю на
Ρ
:
1sin ≤x
,
1cos ≤x
,
Ρ
∈
∀
x
.
С помощью теоремы Лиувилля легко доказать следующее утверждение, называемое основной теоремой алгебры
комплексных чисел [2.10, с. 147].
Теорема 15.5. Всякий многочлен
nn
nn
azazazazP ++++=
−
−
1
1
10
...)(
степени
1
≥
n
,
0
0
≠a
, с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень (один нуль) в поле комплексных чисел.
:
0)( ≠zP
,
Χ
∈
∀
z
. Многочлен
)(zP
является целой функцией (см. пример 9.3). В силу теоремы 9.5 функция
(
)
)(/1 zPzf =
аналитична на
Χ
как частное двух аналитических на
Χ
функций, следовательно,
(
)
zf
является целой
функцией. Заметим, что
(
)
0lim =
∞→
zf
z
,

Страницы