Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а это означает, что по определению предела (см. (5.15)), что
0 (0), ( ) | \ (0) ( )O z O f z
∆ ∆
∀ε > ∃ ∆ = ∆ ε ∀ ∈ ⇒ < ε
C
,
в частности,
для
1 (0) | \ (0) ( ) 1
O z O f z
∆ ∆
ε = ∃ ∀ ∈ ⇒ <
C
. (15.34)
Функция
(
)
zf
аналитична на
Χ
, следовательно, в силу замечания 9.3 она непрерывна на
Χ
, в частности,
(
)
zf
непрерывна
на
)0(
∆
O
. Тогда, в силу замечания 5.10 её модуль
(
)
f z
является непрерывной функ-цией на замкнутом ограниченном
множестве
)0(
∆
O
. Следовательно, в силу первой теоремы Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных
переменных [2.8, с. 496] функция
(
)
f z
ограничена на
)0(
∆
O
, т.е.
(
)
0 :
∃ > ≤
,
)0(
∆
∈∀ Oz
. (15.35)
Положим
{
}
max 1,
M M
=
%
. Тогда в силу (15.34), (15.35)
(
)
f z M
≤
%
,
Χ
∈
∀
z
, т.е. целая функция
(
)
zf
ограничена по модулю
на всей комплексной плоскости. Следовательно, по теореме Лиувилля
(
)
const,≡zf
Χ
∈
∀
z
. Противоречие, ибо
(
)
const,)(/1 ≡
/
= zPzf
Χ
∈
∀
z
, так как степень n многочлена
)(zP
удовлетворяет условию
1
≥
n
. . .
Укажем разложения некоторых функций в ряд Тейлора в окрестности точки
0
0
=z
, т.е. по степеням
z
. В примерах
14.1, 14.2 были получены разложения вида
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
z
z
,
(
)
0
1
Oz ∈
; (15.36)
∑
∞
=
−=
+
0
)1(
1
1
n
nn
z
z
,
(
)
0
1
Oz ∈
. (15.37)
Разложения (15.36), (15.37) являются частными случаями следующего разложения [1.3, с. 151]:
( )
(
)
(
)
1
1 ... ( 1)
1 1
!
n
n
n
z z
n
∞
α
=
α α − ⋅ ⋅ α − −
+ = +
∑
,
(
)
0
1
Oz ∈
. (15.38)
Используя замечание 15.6 и находя коэффициенты
n
c
по формуле (15.23), получаем следующие разложения целых функций
z
e
,
zsin
,
z
cos
:
0
!
n
z
n
z
e
n
∞
=
=
∑
,
Χ
∈
z
; (15.39)
2 1
0
( 1)
sin
(2 1)!
n n
n
z
z
n
∞ +
=
−
=
+
∑
,
Χ
∈
z
; (15.40)
2
0
( 1)
cos
(2 )!
n n
n
z
z
n
∞
=
−
=
∑
,
Χ
∈
z
. (15.41)
Функции
z
e
,
zsin
,
z
cos
были определены в § 6 по формулам (6.5) – (6.7), которые совпадают соответственно с
формулами (15.39) – (15.41). Таким образом, каждая из этих функций была опреде-лена с помощью суммы своего ряда
Тейлора по степеням
z
.
Используя определения гиперболического синуса и гиперболического косинуса:
(
)
sh / 2
z z
z e e
−
= −
,
(
)
ch / 2
z z
z e e
−
= +
а также разложение (15.39), получаем следующие разложения целых функций
zsh
,
zch
:
2 1
0
sh
(2 1)!
n
n
z
z
n
∞ +
=
=
+
∑
,
Χ
∈
z
; (15.42)
2
0
ch
(2 )!
n
n
z
z
n
∞
=
=
∑
,
Χ
∈
z
. (15.43)
Для главной ветви логарифмической функции справедливо разложение [1.3, с. 150]

Страницы