Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
( ) ( )
1
0 0 0
1 2 1
2 1 1
1
15 3 3
5 5
n n
n n n
n n
n n n
f z z z z
∞ ∞ ∞
+
= = =
− ⋅ −
= − = −
∑ ∑ ∑
.
Итак,
( )
2 1
0
2 1
1 1
1
3
4 5 5
n
n
n
n
z
z
z z
∞
+
=
⋅ −
+
= −
+ −
∑
,
(
)
0
1
Oz ∈
. (15.47)
Как и в предыдущем примере, радиус сходимости степенного ряда в правой части (15.47) можно найти по формуле
(15.18): функция
(
)
zf
имеет две особые точки
5
ˆ
1
−=z
,
1
ˆ
2
=z
. Ближайшей из них к точке
0
0
=z
является точка
1
ˆ
2
=z
,
следовательно,
=−=
02
ˆ
zzR
101 =−=
.
16. РЯД ЛОРАНА
Ряд по отрицательным степеням
0
zz −
; понятие двустороннего степенного ряда; разложение аналитической
функции в ряд Лорана; единственность представления аналитической в кольце функции в виде суммы двустороннего
степенного ряда.
Пусть функция
(
)
zf
аналитична на всей комплексной плоскости, кроме двух точек
1
z
и
2
z
, т.е.
1
z
,
2
z
–
изолированные особые точки функции
(
)
zf
. Зафиксируем произвольную точку
Χ∈
0
z
10
| zz ≠
,
20
zz ≠
. Положим
01
zzr −=
,
02
zzR −=
. Пусть, для определённости,
R
<
(для точек
1
z
,
2
z
возможен также случай
R
=
, т.е. особые
точки
1
z
,
2
z
расположены на одной и той же окружности с центом в точке
0
z
, но такой случай мы не рассматриваем).
Возьмём окружности
(
)
0
zS
r
=γ
,
(
)
0
zSГ
R
=
(рис. 16.1).
Рис. 16.1
Окружности
γ
и
Г
выделяют три области аналитичности функции
(
)
zf
:
(
)
,
01
zOD
r
=
{
}
,:
02
RzzrzD <−<∈= Χ
{
:
3
Χ∈= zD
}
+∞<−<
0
zzR
. В области
1
D
функция
(
)
zf
представима в виде
суммы своего ряда Тейлора по степеням
0
zz −
(см. теорему 15.2). При решении некоторых задач необходимо знать
представление функции
(
)
zf
в виде суммы ряда в областях
2
D
и
3
D
, т.е. в конечном кольце
{
}
RzzrzK <−<∈=
0
:Χ
и
бесконечном кольце
{
:
K z= ∈
%
C
}
+∞<−<
0
zzR
(для него , r R R
= = +∞
%
%
).
Рассмотрим ряд
( )
1
0
n
n
n
c
z z
∞
−
=
−
∑
, (16.1)
содержащий целые отрицательные степени
0
zz −
.

Страницы