Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
{
}
RzzrzzK
Rr
<−<∈=
00,
:Χ
,
называемое кольцом сходимости двустороннего степенного ряда (16.7) (см. рис. 16.1).
На границе
(
)
(
)
0 0
K r R
Г S z S z
= ∪
кольца
(
)
0,
zK
Rr
поведение рядов (16.1), (16.8) в смысле сходимости может быть
различным.
В случае 2) возможны следующие вырожденные ситуации:
а)
0
>
r
,
∞
=
, т.е.
{
}
rzzzK
r
>−∈=
∞
0,
:Χ
– внешность окружности
(
)
0
zS
r
;
б)
0
=
r
,
∞
=
, т.е.
{
}
0:
0,0
>−∈=
∞
zzzK Χ
– вся комплексная плоскость, за исключением точки
0
z
;
в)
0
=
r
,
0
>
R
, т.е.
{
}
RzzzK
R
<−<∈=
0,0
0:Χ
– проколотый круг
(
)
0
zO
R
&
.
Теорема 16.2. Если функция
(
)
zfw =
аналитична в кольце
(
)
{
}
RzzrzzK
Rr
<−<∈=
00,
:Χ
, то она представима в
этом кольце в виде суммы двустороннего степенного ряда
( )
( ) ( )
( )
0 0
0 1
0
n n
n
n n
n
n n n
c
f z c z z c z z
z z
∞ ∞ ∞
−
=−∞ = =
= − = − +
−
∑ ∑ ∑
, (16.9)
коэффициенты которого вычисляются по формуле
(
)
( )
1
0
1
, ,
2
n
n
L
f
c d n
i
z
+
ζ
= ζ ∈
π
ζ −
∫
(16.10)
где
L
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце
(
)
0,
zK
Rr
и
охватывающий точку
0
z
.
Замечание 16.2. Значение интеграла (16.10) не зависит от выбора контура
L
(важно лишь, чтобы контур
L
удовлетворял условиям теоремы 16.2) (см. замечание 12.1), в частности, в качестве
L
можно взять любую окружность с
центром в точке
0
z
, расположенную в кольце
(
)
0,
zK
Rr
.
Доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную точку
(
)
0,
zKz
Rr
∈ . Рассмотрим две окружности
(
)
01
1
zSL
r
= и
(
)
|
02
1
zSL
R
=
(
)
0,21
,
zKLL
Rr
⊂ и
1
L
Ez
∈ ,
2
L
Iz
∈ , где
1
L
E
– внешность окружности
1
L
,
2
L
I
– внутренность окружности
2
L
. Возьмём замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур |γ
21
LL
IE
∩⊂γ и
γ
охватывает точку
z
(рис. 16.2).
Рис. 16.2
Рассмотрим трёхсвязную область
G
с границей .
12
γ∪∪=
LL
Г
G
Функция
(
)
(
)
(
)
zfh
−ζζ=ζ / аналитична в области
G
как
отношение двух аналитических функций в этой области (см. теорему 9.5). Следовательно, в силу интегральной теоремы
Коши для многосвязной области (см. теорему 11.5)
( ) ( ) ( )
2 1
L L
h d h d h d
γ
ζ ζ = ζ ζ + ζ ζ
∫ ∫ ∫
,
или после умножения обеих частей равенства на постоянную
iπ2
1

Страницы