Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ограниченным множеством. Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса для вещественных функций двух
вещественных переменных [2.8, с. 496] функция
(
)
f
ζ
ограничена на
2
L
, т.е. функция
(
)
ζf
ограничена по модулю на
2
L
.
Из равномерной сходимости ряда (16.17) на
2
L
и ограниченности по модулю функции
(
)
ζf
на
2
L
вытекает в силу теоремы
14.3 равномерная сходимость на
2
L
ряда
( )
( )
( )
0
1
0
0
n
n
n
z z
f
z
∞
+
=
−
ζ
ζ −
∑
(16.20)
к функции
(
)
(
)
(
)
/
S f z
%
. Следовательно, соотношение (16.19) можно записать в виде
( )
( )
( )
2
0
1
1
0
0
1
2
n
n
n
L
z z f
I d
i
z
∞
+
=
− ζ
= ζ
π
ζ −
∑
∫
. (16.21)
Члены ряда (16.20) непрерывны на
2
L
и этот ряд сходится равномерно на
2
L
. Следовательно, в силу теоремы 14.6
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
0 0
1 1
0 0
0 0
n n
n n
n n
L L
z z f z z f
d d
z z
∞ ∞
+ +
= =
− ζ − ζ
ζ = ζ =
ζ − ζ −
∑ ∑
∫ ∫
( )
( )
( )
2
0
1
0
0
n
n
n
L
f
z z d
z
∞
+
=
ζ
= − ζ
ζ −
∑
∫
. (16.22)
В силу (16.21), (16.22)
( )
1 0
0
n
n
n
I c z z
∞
=
= −
∑
, (16.23)
где
(
)
( )
2
1
0
1
2
n
n
L
f
c d
i
z
+
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
{
}
0∪∈ Νn
. (16.24)
Далее, для
1
L∈ζ∀
имеем
( ) ( )
0
0
000
1
1111
zz
z
zzzzzz
−
−ζ
−
−
=
−−−ζ
−=
−ζ
−
. (16.25)
Заметим, что для
1
L∈ζ∀
0
0
1
0 0 0
1
z
z r
z z z z z z
ζ −
ζ −
= = <
− − −
.
Следовательно, в силу (14.36)
1
0
0
0
1
0
1
1
n
n
z
z
z z
z z
−
∞
=
ζ −
=
ζ −
−
−
−
∑
. (16.26)
В силу (16.25), (16.26)
( )
( )
1
0
1
0
1
n
n
n
z
z
z z
−
∞
=
ζ −
− =
ζ −
−
∑
. (16.27)
Оценим общий член
(
)
ζχ
n
ряда
( )
( )
1
0
1
0
n
n
n
z
z z
−
∞
=
ζ −
−
∑
(16.28)
Для
Ν
∈
∀
n
и
1
L∈ζ∀
получаем

Страницы