Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

функции
(
)
zf
в ряд Лорана в кольце
(
)
0,
zK
Rr
(или лорановским разложением функции
(
)
zf в кольце
(
)
0,
zK
Rr
) (по
степеням
0
zz
−
или с центром в точке
0
z ), при этом кольцо
(
)
0,
zK
Rr
называется кольцом сходимости ряда Лорана.
Первый ряд в представлении (16.9), т.е. ряд по неотрицательным степеням
0
zz
−
называется правильной частью ряда
Лорана (правильной частью лорановского разложения); второй ряд в представлении (16.9), т.е. ряд по отрицательным
степеням
0
zz
−
называется главной частью ряда Лорана (главной частью лорановского разложения) функции
(
)
zf в
кольце
(
)
0,
zK
Rr
.
Замечание 16.3. Ряд Лорана аналитической в кольце
(
)
0,
zK
Rr
функции
(
)
zf абсолютно сходится в этом кольце.
Действительно, в силу замечания 16.1 правильная часть ряда Лорана абсолютно сходится в открытом круге
(
)
0
zO
R
,
главная часть ряда Лорана абсолютно сходится на множестве
(
)
0
\ zO
r
Χ
. Следовательно, ряд Лорана абсолютно сходится в
кольце
(
)
0,
zK
Rr
.
Замечание 16.4. Ряд Лорана аналитической в кольце
(
)
0,
zK
Rr
функции
(
)
zf
сходится равномерно на любом
замкнутом ограниченном множестве
(
)
, 0
r R
G K z
⊂
(см. следствие 14.3).
Аналогом замечания 15.2 является следующее утверждение [1.4, с. 227].
Теорема 16.3. Всякий двусторонний степенной ряд (16.7), сходящийся в кольце
(
)
0,
zK
Rr
, является рядом Лорана
своей суммы
(
)
zS
в этом кольце.
В силу теорем 16.2, 16.3 справедливо следующее утверждение.
Теорема 16.4. Функция
(
)
zf
, аналитическая в кольце
(
)
0,
zK
Rr
, единственным образом представима в этом кольце в
виде суммы двустороннего степенного ряда по степеням
0
zz −
и этот двусторонний степенной ряд является рядом Лорана
функции
(
)
zf
в кольце
(
)
0,
zK
Rr
.
В силу теоремы 16.4 разложение аналитической в кольце
(
)
0,
zK
Rr
функции
(
)
zf
в ряд Лорана единственно. Поэтому,
чтобы получить такое разложение, не обязательно искать его коэффициенты по формуле (16.10). Достаточно применить
какой-либо другой приём (например, использовать известные стандартные разложения), позволяющий представить функцию
(
)
zf
как сумму ряда по неотрицательным и отрицательным степеням
0
zz −
.
В дальнейшем будет показано (см. § 17), что характер изолированной особой точки
0
z
функции
(
)
zf
определяется
видом лорановского разложения этой функции в окрестности точки
0
z
. В связи с этим необходимо уметь решать
следующие задачи.
Задача 16.1. Найти представление функции
(
)
zf
в виде суммы степенного ряда или двустороннего степенного ряда по
степеням
0
zz −
(
0
z
– фиксированная точка комплексной плоскости), т.е. найти разложение функции
(
)
zf
в ряд Тейлора
или ряд Лорана по степеням
0
zz −
в её областях аналитичности.
Задача 16.2. Найти представление функции
(
)
zf
в виде суммы двустороннего степенного ряда, т.е. найти разложение
функции
(
)
zf
в ряд Лорана в окрестности её изолированной особой точки
0
z
(тем самым будет определён тип
изолированной особой точки
0
z
).
План решения задачи 16.1 таков: находят изолированные особые точки функции
(
)
.zf
Пусть, например, функция
(
)
zf
имеет две изолированные особые точки
1
z
и
.
2
z
Тогда возможны следующие случаи:
I.
01
zz ≠
,
02
zz ≠
;
0201
zzzz −≠−
.
II.
01
zz ≠
,
02
zz ≠
;
0201
zzzz −=−
.
III. Одна из точек
1
z
,
2
z
совпадает с
0
z
.
В случае I предположим для определённости, что
<−
01
zz
02
zz −<
. Рассмотрим окружности
(
)
0
zS
r
,
(
)
0
zS
R
, где
01
zzr −=
,
02
zzR −=
. Тогда областями аналитичности функции
(
)
zf
являются следующие области:
(
)
,
01
zOD
r
=
(
)
,
0,2
zKD
Rr
=
(
)
0,3
zKD
R
∞
= (рис. 16.3).

Страницы