Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В качестве центра разложения выступает точка
0
0
=z
. Функция
(
)
zf
имеет две изолированные особые точки
1
1
−=z
и
2
2
−=z
(это значения
z
, при которых знаменатель дроби в правой части (16.37) обращается в нуль). Областями
аналитичности функции
(
)
zf
являются области
(
)
0
11
OD =
,
(
)
0
2,12
KD = ,
(
)
0
,23 ∞
= KD (рис. 16.6).
Используя известный способ разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей [2.8, с. 220],
представим функцию
(
)
zf в виде
( )
2
1
1
1
+
+
+
=
z
z
zf . (16.38)
Рис. 16.6
Используя стандартное разложение (15.37) получаем при
1<z
∑
∞
=
−=
+
0
)1(
1
1
n
nn
z
z
; (16.39)
при
1>z
(т.е.
1
1
z
<
)
1
1
0 0 1
1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)
( 1)
1
1
1
n
n n
n
n n
n n n
z z z z
z z
z
∞ ∞ ∞ −
+
= = =
− −
= = − = =
+
+
∑ ∑ ∑
; (16.40)
при
2<z
(т.е.
1
2
z
)
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
2
)1(
2
)1(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
0
1
0
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
=
−=
+
=
+
; (16.41)
при
2>z
(т.е.
2
1
z
)
∑∑∑
∞
=
−−∞
=
+
∞
=
−
=
−
=
−=
+
=
+
1
11
0
1
0
2)1(2)1(2
)1(
1
2
1
11
2
1
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
zz
zz
z
zz
. (16.42)
Учитывая (16.38) получаем:
в открытом круге
(
)
0
1
O
( в силу (16.39), (16.41))
( )
1 1
0 0 0
( 1) 1
( 1) ( 1) 1
2 2
n
n n n n n
n n
n n n
f z z z z
∞ ∞ ∞
+ +
= = =
−
= − + = − +
∑ ∑ ∑
;
в кольце
(
)
0
2,1
K
(в силу (16.40), (16.41))
( )
n
n
n
n
n
n
n
z
z
zf
2
)1()1(
0
1
1
1
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
−
+
−
=
;
в кольце
(
)
0
,2 ∞
K
(в силу (16.40), (16.42))

Страницы