Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
(
)
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
=
−
+−
=
−
+
−
=
1
11
1
11
1
1
21)1(
2)1()1(
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
zzz
zf
.
Итак,
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
0
1
1,2
1
0 1
1 1
2,
1
1
( 1) 1 , 0 ;
2
( 1) ( 1)
, 0 ;
2
( 1) 1 2
, 0 .
n n
n
n
n n
n
n n
n n
n n
n
n
z z O
f z z z K
z
z K
z
∞
+
=
∞ ∞ −
+
= =
− −
∞
∞
=
− + ∈
− −
= + ∈
− +
∈
∑
∑ ∑
∑
При решении задачи 16.2 находят разложение функции
(
)
zf
в ряд Лорана в кольце
(
)
{
}
RzzzzK
R
<−<∈=
00,0
0:Χ
,
где
R
– расстояние от точки
0
z
до ближайшей к ней изолированной особой точке
z
ˆ
функции
(
)
zf
:
0
ˆ
zzR −=
(если
функция
(
)
zf
имеет единственную изолированную особую точку
0
z
, то
∞
R
и разложение функции
(
)
zf
в ряд Лорана
находят в кольце
∞,0
K ).
Пример 16.2. Найти разложение функции
( )
z
zzf
1
sin
3
=
в ряд Лорана в окрестности её изолированной особой точки
0
0
=
z .
Функция
(
)
zf имеет единственную изолированную особую точку
0
0
=
z . Следовательно, она разложима в ряд Лорана
в кольце
(
)
=
∞
0
,0
K
{
}
∞<<∈= zz 0:Χ . Используя стандартное разложение (15.40), получаем для
(
)
0
,0 ∞
∈∀ Kz
( )
=
+
−
=
+
−
==
−
∞
=
∞
=
+
∑∑
22
00
12
33
1
)!12(
)1(
)!12(
1
)1(
1
sin
n
n
n
n
n
n
z
nn
z
z
z
zzf
∑∑∑
∞
=
−−
∞
=
−
=
+
−
++−=
+
−
+
+
−
=
2
22
2
22
2
22
1
0
)!12(
)1(
6
11
)!12(
)1(1
)!12(
)1(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zn
z
z
n
z
n
.
Итак,
( )
∑
∞
=
−
+
−
++−=
2
22
2
)!12(
)1(
6
1
n
n
n
zn
zzf ,
(
)
0
,0 ∞
∈ Kz . (16.43)
Заметим, что правильная часть лорановского разложения (16.43) содержит два члена, а главная часть – бесконечно
много членов.
17. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
ФУНКЦИИ
Устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка; связь между типом особой точки и видом главной
части лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки; порядок полюса; признак наличия полюса;
кратность нуля функции; признак наличия кратного нуля функции; связь между нулями и полюсами функций; теорема
Сохоцкого; случай несобственного комплексного числа
∞
z
; разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки
∞
z
; понятие мероморфной функции, её представление в виде суммы целой части и простейших рациональных дробей.
Пусть
0
z – изолированная особая точка функции
(
)
zf . Это означает по определению, что
(
)
0
zO
δ
∃ , в которой нет
других особых точек функции
(
)
,zf т.е. функция
(
)
zf аналитична в проколотой δ-окрестности точки
0
z . Тогда в силу
теоремы 16.2 функция
(
)
zf представима в кольце
(
)
(
)
{
}
δ<−<∈==
δδ 000,0
0: zzzzOzK Χ
&
в виде суммы своего ряда
Лорана:
( )
( )
( )
0
0 1
0
n
n
n
n
n n
c
f z c z z
z z
∞ ∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
,
(
)
0
zOz
δ
∈
&
, (17.1)
где
(
)
( )
1
0
1
2
n
n
L
f
c d
i
z
+
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
Ζ
∈
n
, (17.2)

Страницы