Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
L
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в
(
)
0
zO
δ
&
и охватывающий
точку
0
z
(в частности, в качестве
L
можно взять любую окружность с центром в точке
0
z
и радиусом, меньшим
δ
).
Замечание 17.1. Разложение (17.1) справедливо в максимальном кольце
(
)
{
}
RzzzzK
R
<−<∈=
00,0
0:Χ
(с центром в
точке
0
z
) аналитичности функции
(
)
zf
(здесь
0
ˆ
zzR −=
– расстояние от точки
0
z
до ближайшей к ней изолированной
особой точки
z
ˆ
функции
(
)
zf
). При этом если
0
z
– единственная особая точка функции
(
)
zf
, то
∞
=
R
, т.е. разложение
(17.1) справедливо на всей комплексной плоскости, кроме точки
0
z
.
При изучении функции
(
)
zf
в окрестности её изолированной особой точки
0
z
необходимо знать поведение этой
функции при
0
zz →
. В связи с этим вводятся следующие понятия.
Определение 17.1. Изолированная особая точка
0
z
функции
(
)
zf
называется:
1) устранимой особой точкой, если существует конечный
(
)
Azf
zz
=
→
0
lim
;
2) полюсом, если
(
)
∞=
→
zf
zz
0
lim
;
3) существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции
(
)
zf
при
0
zz →
.
Теорема 17.1. Изолированная особая точка
0
z
функции
(
)
zf
является устранимой особой точкой этой функции тогда
и только тогда, когда главная часть лорановского разложения (17.1) функции
(
)
zf
в некоторой проколотой δ-окрестности
точки
0
z
равна нулю, т.е.
0=
−n
c
,
Ν
n
.
Необходимость. Пусть
0
z
– устранимая особая точка функции
(
)
zf
, т.е.
(
)
∞≠=∃
→
Azf
zz
0
lim
. (17.3)
Покажем, что
0=
−n
c
,
Ν
n
. (17.4)
Из (17.3) следует в силу теоремы 5.2, что функция
(
)
zf
ограничена по модулю в некоторой проколотой δ
1
-окрестности точки
,
0
z
т.е.
|0>∃M
(
)
f z M
≤
,
(
)
0
1
zOz
δ
∈∀
&
. (17.5)
Положим
{
}
12
,min δδ=δ
. Возьмём в формуле (17.2) в качестве
L
окружность
(
)
0
zS
ρ
=γ с
2
δ<ρ . Тогда в силу (17.5)
(
)
f z M
≤
,
γ
z
. (17.6)
При любом
Ν
n получаем
( )
( )
( )( )
1
0
1
0
1 1
2 2
n
n
n
f
c d f z d
i
z
−
−
− +
γ γ
ζ
= ζ = ζ ζ − ζ
π π
ζ −
∫ ∫
. (17.7)
Учитывая (17.6) и равенство
0
z
ζ − = ρ
,
γ
ζ
, оценим модуль подынтегральной функции
( ) ( )
( )
1
0
n
g f z
−
ζ = ζ ζ −
на
окружности
γ
:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
0 0
n n
n
g f z f z M
− −
−
ζ = ζ ζ − = ζ ζ − ≤ ρ
.
Получили
(
)
1
n
g M
−
ζ ≤ ρ
,
γ
ζ
. Тогда, в силу (10.34)
( )
1 1
2 2
n n n
g d M l M M
− −
γ
γ
ζ ζ ≤ ρ = ρ πρ = π ρ
∫
. (17.8)
В силу (17.7), (17.8)
n
n
Mc ρ≤≤
−
0
,
Ν
n
,
2
0 δ<ρ<∀
. (17.9)
Заметим, что
(
)
0lim
00
=ρ
+→ρ
n
M
для
Ν
n
. Тогда, переходя в (17.9) к пределу при
00
+
→
ρ
и
учитывая
,
что
nn
cc
−−
+→ρ
=
00
lim
,
получаем
0=
−n
c
,
Ν
n
,
т
.
е
.
0=
−n
c
,
Ν
n
.

Страницы