Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Достаточность. Пусть выполняется (17.4). Покажем, что справедливо утверждение (17.3). В силу (17.4) разложение
(17.1) принимает вид
( )
( )
0
0
n
n
n
f z c z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
δ
∈
&
, (17.10)
где
n
c
находятся по формуле (17.2). В силу теоремы 14.12 сумма
(
)
zS
степенного ряда в правой части (17.10) непрерывна в
его круге сходимости
(
)
(
)
00
zOzO
R δ
⊇
(здесь
0
ˆ
zzR −=
– расстояние от точки
0
z
до ближайшей к ней изолированной
особой точки
z
ˆ
функции
(
)
zf
). В частности,
(
)
zS
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
0
lim zSzS
zz
=
→
. (17.11)
В силу (17.10)
(
)
(
)
,zfzS =
(
)
.
0
zOz
δ
∈∀
&
В силу замечания 14.3
(
)
00
czS =
. Тогда соотношение (17.11) принимает вид
(
)
0
0
lim czf
zz
=
→
.
Пусть
0
z
– устранимая особая точка функции
(
)
zf
. Тогда справедливо разложение (17.10). В силу теоремы 14.14
сумма
(
)
zS
степенного ряда в правой части (17.10) является аналитической функцией в своём круге сходимости
(
)
(
)
00
zOzO
R δ
⊇
, в частности,
(
)
zS
аналитична в точке
0
z
. Учитывая, что
(
)
00
czS =
, доопределим функцию
(
)
zf
в точке
0
z
, т.е. рассмотрим "расширенную" функцию
( )
(
)
(
)
0
0 0
, ,
f z z O z
f z
c z z
δ
∈
=
=
&
%
Тогда
(
)
(
)
f z S z
=
%
для
(
)
0
zOz
δ
∈∀
, следовательно,
(
)
f z
%
аналитична в
(
)
0
zO
δ
, т.е. доопределив функцию
(
)
zf
в точке
0
z
,
мы устранили особую точку
0
z
.
Пример 17.1. Определим тип изолированной особой точки
0
0
=z
функции
( )
z
z
zf
sin
=
.
Точка
0
0
=z
является единственной особой точкой функции
(
)
zf
. Следовательно,
(
)
zf
разложима в ряд Лорана в
кольце
(
)
{
}
0\0
,0
Χζ =
∞
K . Используя стандартное разложение (15.40), получаем для
{
}
0\Χ∈∀z
( )
2 1 2
0 0
sin 1 ( 1) ( 1)
(2 1)! (2 1)!
n n n n
n n
z z z
f z
z z n n
∞ + ∞
= =
− −
= = =
+ +
∑ ∑
.
Итак,
( )
2
0
( 1)
(2 1)!
n n
n
z
f z
n
∞
=
−
=
+
∑
,
{
}
0\Χ∈z .
Мы видим, что главная часть лорановского разложения функции
(
)
zf в окрестности точки
0
z равна нулю,
следовательно, в силу теоремы 17.1
0
z – устранимая особая точка функции
(
)
zf . Заметим, что
(
)
10 =S . Тогда
"расширенная" функция
( )
{ }
sin
, \ 0 ,
1, 0
z
z
f z
z
z
∈
=
=
%
C
аналитична на всей комплексной плоскости
Χ
.
Теорема 17.2. Изолированная особая точка
0
z
функции
(
)
zf
является полюсом этой функции тогда и только тогда,
когда главная часть лорановского разложения (17.1) функции
(
)
zf
в некоторой проколотой окрестности точки
0
z
имеет
конечное число ненулевых членов, т.е.
mnccm
nm
>∀=≠∈∃
−−
,0 ;0| Ν
. (17.12)
Необходимость. Пусть
0
z
– полюс функции
(
)
zf
, т.е.
(
)
∞=∃
→
zf
zz
0
lim
. (17.13)
Тогда, по определению предела (см. (5.13))

Страницы