Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
,
(
)
0
zOz
p
&
∈
. (17.23)
В силу теоремы 15.1
( )
( )
0
0
n
n
n
z b z z
∞
=
ψ = −
∑
,
(
)
0
zOz
p
∈
, (17.24)
при этом
(
)
0/1
00
≠=ψ=
m
azb
. В силу (17.23), (17.24) для
(
)
0
zOz
p
&
∈∀
( )
( )
( )
( )
1
0 0
0 0
0
m
n m n m
n
n n
m n
n n n m
b
f z b z z b z z
z z
∞ − ∞
−
= = =
= − = + −
−
∑ ∑ ∑
. (17.25)
Преобразуем конечную сумму в правой части (17.25):
( ) ( )
1
1
( 1)
0 1
0 0
1 ( 1)
m m
n k
m n m k
n k
b b
k n n m k
z z z z
−
−
− − −
= =
= = + = = = − − =
− −
∑ ∑
( ) ( ) ( )
1
1 1
0 0 0
m m
m n m n n
m n n
n n n
n m n n
b b c
b c
z z z z z z
− − −
− −
= = =
= = = = =
− − −
∑ ∑ ∑
.
Получили
( )
1
0
0
m
n
m n
n
b
z z
−
−
=
=
−
∑
( )
1
0
m
n
n
n
c
z z
−
=
−
∑
, (17.26)
при этом,
0
0
≠=
−
bc
m
. Далее,
( ) ( )
0 0
0
n m k
n m k
n m k
b z z k n m b z z
∞ ∞
−
+
= =
− = = − = − =
∑ ∑
( ) ( )
0 0
0 0
k n
m k k k n
k n
b c c z z c z z
∞ ∞
+
= =
= = = − = −
∑ ∑
.
Получили
( )
0
n m
n
n m
b z z
∞
−
=
− =
∑
( )
0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
. (17.27)
В силу (17.25) – (17.27) для
(
)
0
zOz
p
&
∈∀
( )
( )
( )
0
0 1
0
m
n
n
n
n
n n
c
f z c z z
z z
∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
, (17.28)
при этом
0≠
−m
c
.
Достаточность. Пусть главная часть лорановского разложения функции
(
)
zf
в некоторой проколотой δ-окрестности
точки
0
z
имеет конечное число ненулевых членов, т.е. справедливо разложение (17.28), в котором
0≠
−m
c
. Покажем, что
точка
0
z
является полюсом функции
(
)
zf
, т.е. выполняется (17.13). Запишем (17.28) в виде
( )
( )
( )
( 1) 0
0
1
...
m m
m
f z c c z z
z z
− − −
= + − +
−
( ) ( )
1
1 0 0
0
...
m m n
n
n
c z z c z z
∞
− +
−
=
+ − + −
∑
. (17.29)
В силу теоремы 14.12 сумма
(
)
zψ
степенного ряда, записанного в квадратных скобках в правой части (17.29), непрерывна в
его круге сходимости, в частности,
(
)
zψ
непрерывна в точке
,
0
z
т.е.
(
)
(
)
0
0
lim zz
zz
ψ=ψ
→
. Заметим, что
(
)
0
0
≠=ψ
−m
cz
.
Получили
(
)
0lim
0
≠=ψ
−
→
m
zz
cz
. (17.30)

Страницы