Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
0≠
−m
c
, а это означает, по определению, что точка
0
z
является полюсом порядка m функции
(
)
zf
.
Пусть m – некоторое натуральное число.
Определение 17.3. Нуль
0
z
аналитической в окрестности
(
)
0
zO
δ
функции
(
)
zf
называется нулём кратности m (или
порядка m), если в этой окрестности функция
(
)
zf
представима в виде
( )
( ) ( )
0
m
f z z z z
= − ϕ
, (17.37)
где
(
)
zϕ
– некоторая аналитическая в
(
)
0
zO
δ
функция, отличная от нуля в точке
0
z
.
Нуль кратности
1
=
m
функции
(
)
zf
называется простым нулём этой функции.
Теорема 17.4. Точка
0
z
является нулём кратности m аналитической в
(
)
0
zO
δ
функции
(
)
zf
тогда и только тогда, когда
(
)
(
)
(
)
(
)
( 1)
0 0 0 0
... 0
m
f z f z f z f z
−
′ ′′
= = = = =
, но
(
)
( )
0
0
m
f z
. (17.38)
Необходимость. Пусть
0
z
– нуль кратности m функции
(
)
zf
, т.е. выполняется (17.37). Тогда
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0
m
f z z z z
= − ϕ =
;
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0 0 1
m m m
f z m z z z z z z z z z
− −
′ ′
= − ϕ + − ϕ = − ϕ
,
где
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0
z m z z z z
′
ϕ = ϕ + − ϕ
,
(
)
(
)
1 0 0
0
z m z
ϕ = ϕ ≠
;
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2
0 1 0 1 0 2
1
m m m
f z m z z z z z z z z z
− − −
′′ ′
= − − ϕ + − ϕ = − ϕ
,
где
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 0 1
1
z m z z z z
′
ϕ = − ϕ + − ϕ
,
(
)
(
)
(
)
2 0 1 0
1 0
z m z
ϕ = − ϕ ≠
;
……………………………………………………………………...
(
)
(
)
(
)
( 1)
0 1
m
m
f z z z z
−
−
= − ϕ
, где
(
)
(
)
1 1 0
| 0
m m
z z
− −
ϕ ϕ ≠
;
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1 0 1
m
m m
f z z z z z
− −
′
= ϕ + − ϕ
.
Получаем
(
)
0
0
f z
=
,
(
)
0
0
f z
′
=
,
(
)
0
0
f z
′′
=
, … ,
(
)
( 1)
0
0
m
f z
−
=
,
но
(
)
(
)
( )
0 1 0
0
m
m
f z z
−
= ϕ ≠
.
Достаточность. Пусть выполняется (17.38). В силу теоремы 15.1 справедливо разложение
( )
(
)
( )
( )
0
0
0
!
n
n
n
f z
f z z z
n
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
δ
∈
. (17.39)
В силу (17.38) разложение (17.39) принимает вид
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
0 0
0 0 0
! !
n n
n m n m
n m n m
f z f z
f z z z z z z z
n n
∞ ∞
−
= =
= − = − −
∑ ∑
. (17.40)
В силу теоремы 14.14 сумма
(
)
zϕ
степенного ряда в правой части (17.40) аналитична в
(
)
0
zO
δ
и
( )
(
)
0
!
0
)(
00
≠==ϕ
m
zf
cz
m
. В
силу (17.40)
( ) ( ) ( )
0
m
f z z z z
= − ϕ
,
(
)
0
zOz
δ
∈
, где
(
)
zϕ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
и
(
)
0
0
≠ϕ z
, а это означает, по определению,
что точка
0
z
является нулём кратности m функции
(
)
zf
.
Теорема 17.5. Если точка
0
z
является нулём кратности m аналитической в
(
)
0
zO
δ
функции
(
)
zg
, то эта точка
является полюсом порядка m функции
(
)
(
)
zgzf /1=
.
В силу определения 17.3
( )
( ) ( )
0
m
g z z z z
= − ϕ
, следовательно, функция
(
)
(
)
zgzf /1=
имеет вид
( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
,
где
(
)
(
)
zz ϕ=ψ /1
. По условию
(
)
zϕ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
. Следовательно, в силу замечания 9.3
(
)
zϕ
непрерывна в
(
)
0
zO
δ
, в
частности,
(
)
zϕ
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0lim
0
0
≠ϕ=ϕ
→
zz
zz
. Тогда, в силу замечания 5.5
(
)
(
)
(
)
0|
00
11
≠ϕ
⇒
∈∀∃
δδ
zzOzzO
.

Страницы