Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, функция
(
)
(
)
(
)
zzz
21
/ ϕϕ=ψ
определена и аналитична в
(
)
1
0
O z
δ
как отношение двух аналитических в
(
)
1
0
O z
δ
функций (см. теорему 9.5). Кроме того,
(
)
(
)
(
)
0/
02010
≠ϕϕ=ψ zzz
. Итак, функция
(
)
zf
представима в виде (17.44),
где
(
)
zψ
аналитична в
(
)
1
0
O z
δ
и
(
)
0
0
≠ψ z
. Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка
0
z
является полюсом порядка
mk −
функции
(
)
zf
.
Пример 17.2. Определим тип изолированной особой точки
0
0
=z
функции
( )
5
cos
z
z
zf =
. (17.45)
Точка
0
0
=z
является единственной особой точкой функции
(
)
zf
. Следовательно,
(
)
zf
разложима в ряд Лорана в
кольце
(
)
{
}
0\0
,0
Χζ =
∞
K . Используя стандартное разложение (15.41), получаем для
{
}
0\Χ∈∀z
( )
2 4 6 2
5 5
cos 1
1 ... ( 1) ...
2! 4! 6! (2 )!
n
n
z z z z z
f z
n
z z
= = − + − + + − + =
2 5
5 3
1 1
1 1 ( 1)
2! 4!
... ...
6! (2 )!
n
n
z z
z n
z z
−
−
= − + + − + + +
. (17.46)
Главная часть лорановского разложения (17.46) содержит три ненулевых члена, при этом в его старшем члене
5
/1 z
показатель степени в знаменателе равен пяти. Следовательно, в силу теоремы 17.2 точка
0
0
=z
является полюсом порядка
5
=
m
функции (17.45).
Пример 17.3. Найдём особые точки функции
( )
1
2
+
=
z
e
zf
z
(17.47)
и определим их тип.
Функция
(
)
zf
имеет две особые точки
iz =
1
,
iz −=
2
(это те значения
,
z
при которых знаменатель в (17.47) равен
нулю) (рис. 17.1).
Рис. 17.1
Запишем функцию
(
)
zf
в
(
)
iO
2
&
в виде
( )
(
)
iz
z
zf
−
ψ
=
,
где
(
)
(
)
izez
z
+=ψ /
. Функция
z
e
аналитична на всей комплексной плоскости
Χ
(см. пример 9.1); функция
(
)
izzw +=
аналитична на
C
и
(
)
0
w z
≠
,
{
}
\
z i
∀ ∈ −
C
. Следовательно, функция
(
)
zψ
аналитична в
(
)
iO
2
как отношение двух
аналитических в
(
)
iO
2
функций. Кроме того,
( )
0
2
≠=ψ
i
e
i
i
, ибо
0≠
z
e
,
Χ
∈
∀
z
(см. (6.25)). Следовательно, в силу теоремы
17.3 точка
iz =
1
является простым полюсом функции (17.47). Аналогично показывается, что точка
iz −=
2
тоже является
простым полюсом этой функции.
Пример 17.4. Определим тип особой точки
0
0
=z
функции

Страницы